DISTRIBUSI NORMAL

BAB X

DISTRIBUSI NORMAL

Apapun hasilnya hari ini adalah hasil pikiran kita yang kemarin dan

pikiran kita hari ini memengaruhi kehidupan kita pada masa mendatang.

Hidup kita adalah ciptaan pikiran kita.

Siddharta Buddha

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pemahaman distribusi normal, kurva normal, distribusi normal baku, sifat-sifat distribusi normal, probabilitas P (a < x < b), fungsi distribusi kumulatif, distribusi normal sebagai pendekatan distribusi Binomial, perumusan distribusi normal, penggunaan kurva normal standar, hubungan antara distribusi normal dan distribusi binomial.

• Pendahuluan

Pada uraian sebelumnya telah dibahas bagaimana cara menentukan probabilitas peristiwa dari suatu percobaan yang menggunakan variabel random diskrit dan dengan nilai yang terbatas. Apabila suatu percobaan menggunakan variabel random yang kontinu dan nilai yang tidak terbatas, maka diperlukan distribusi probabilitas kontinu untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa yang akan dihasilkan dari percobaan tersebut. Satu hal yang sangat penting dalam distribusi probabilitas kontinu adalah distribusi normal.  Sekumpulan nilai data akan terdistribusi secara normal (membentuk kurva yang simetris) apabila rata-rata nilai variabel sama dengan median dan sama dengan modus nilai data tersebut. Distribusi probabilitas normal membentuk suatu kurva normal yang juga sering disebut kurva genta (bell-shaped curve), karena bentuknya yang menyerupai sebuah genta (Haryono, 2008).

Distribusi normal sering juga disebut distribusi Gauss (1777-1855) yang sudah melakukan pengkajian mengenai kecenderungan distribusi mengumpul di sekitar rata-rata dan menemukan model matematika yang dinamanakan dengan model distribusi normal. Ada dua alasan mengapa distribusi normal banyak digunakan di dalam analisis statistik dan praktik penelitian di lapangan. Pertama, distribusi normal memiliki kemampuan yang dapat diterapkan terhadap banyak situasi, terutama untuk membuat kesimpulan dari sampel yang digunakan. Kedua, distribusi normal sangat baik digunakan dalam analisis mengenai fenomena yang menggunakan data kontinu, seperti ukuran berat, tinggi rendahnya sekor IQ, panjang, jumlah curah hujan, banyaknya botol dalam satu kerat, dan lain sebagainya. Kita telah mengetahui bahwa ada tiga jenis kemiringan, yaitu:

1. Distribusi Miring Ke Kiri         Distribusi Simetri         c.  Distribusi Miring Ke Kanan

Gambar 10.1.                          Gambar 10.2.                          Gambar 10.3.

Gambar 10.1 menunjukkan distribusi data miring ke kiri, di mana nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median dan median lebih kecil dari modus. Kurva tidak simetri sebab puncaknya ada di bagian kanan tetapi sedikit data ada yang menyebar ke kiri. Gambar 10.3 menunjukkan keadaan yang sebaliknya, yaitu distribusi data miring ke kanan, di mana nilai modus lebih kecil dari median dan median lebih kecil dari rata-rata hitung. Kurva juga tidak simetri sebab puncaknya ada di bagian kiri sementara sedikit data ada yang menyebar ke kanan. Keadaan yang sangat menarik untuk diamati adalah distribusi data yang ditunjukkan oleh Gambar 10.2, di mana nilai rata-rata sama atau mendekati median dan modus. Kurvanya simetri dengan puncak distribusi ada di bagian tengah. Distribusi data seperti yang ditunjukkan oleh Gambar 10.2 itu disebut distribusi normal.

• Distribusi Normal

Pada pembahasan sebelumnya telah diuraikan 4 bentuk distribusi probabilitas variabel diskrit, yaitu distribusi Binomial, Poisson, Multinomial, dan hipergeometrik. Variabel diskrit adalah variabel yang nilainya bilangan bulat (0,1,2,3,…). Nilai variabel diskrit tidak dapat minus dan juga tidak dapat pecahan. Pembahasan kita berikutnya adalah probabilitas peristiwa untuk variabel random kontinu yang berbentuk simetris dan memiliki poros di tengah-tengah distribusi. Probabilitas suatu peristiwa yang berdistribusi normal dari variabel random kontinu ditunjukkan oleh daerah di bawah kurva normal.  Pada suatu observasi, berapa pun nilai rata-rata dan nilai standar deviasinya, luas seluruh daerah di bawah kurva normal adalah 1. Ini sesuai dengan ketentuan nilai probabilitas semua kemungkinan peristiwa yang akan terjadi dalam suatu percobaan adalah 1. Poros kurva normal terdapat pada rata-rata data populasi (µ).

 Distribusi normal disebut juga distribusi Gauss. Pandanglah kembali kurva distribusi normal berikut ini.

Gambar 10.4. Kurva Distribusi Normal

Rata-rata populasi membagi dua data sama banyaknya, sehingga luas daerah di sebelah kiri rata-rata adalah 0,5 dan di sebelah kanan rata-rata adalah 0,5. Karakteristik kurva normal yang dihubungkan dengan nilai rata-rata dan nilai standar deviasi data adalah sebagai berikut:

1. Sekitar 68% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam interval µ ± 1 standar deviasi.
2. Sekitar 95% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam interval µ ± 2 standar deviasi.
3. Sekitar 95% nilai data observasi yang terdistribusi secara normal, berada di dalam interval µ ± 2 standar deviasi.

Distribusi probabilitas normal untuk setiap nilai x membentuk kurva normal mempunyai persamaan umum sebagai berikut.

Keterangan:

populasi

 populasi

x  =  setiap nilai variabel random kontinu yang besarnya -∞ sampai dengan +∞ 

            Distribusi normal  didefinisikan pada interval terbuka . Distribusi normal dengan parameter  dan  biasanya ditulis . Dengan memperhatikan persamaan umum dan grafik distribusi normal , tampak bahwa bentuk kurva normal ditentukan oleh dua parameter, yaitu rata-rata  dan simpangan baku . Bila nilai  mengecil, maka bentuk kurva akan lebih rapat dan semakin runcing dan sebagian besar nilai x akan berkumpul atau mendekati nilai rata-rata . Sebaliknya makin besar nilai , maka bentuk kurva akan lebih renggang dan tumpul, di mana sebagian besar nilai-nilai x akan menjauhi nilai rata-rata . Perhatikan Gambar 10.5 yang menunjukkan uraian tiga distribusi data yang mempunyai simpangan baku  dan  serta rata-rata  dan

Gambar 10.5. Distribusi Data yang Mempunyai Simpangan Baku Berbeda

• Sifat-Sifat Distribusi Normal

Ada beberapa sifat penting dari distribusi normal, lihat gambar 10.4, dan 10.5 sebagai berikut (Sudaryono, 2011; Kadir, 2015).

1. Nilai mean = median = modus
2. Bentuk grafik simetri terhadap garis tegak
3. Grafik selalu berada di atas sumbu atau
4. Mempunyai satu nilai modus.
5. Luas daerah di bawah kurva dan di atas sumbu  = 1, yaitu .
6. Model kurva leptokurik, platikurtik, dan mesokurtik bergantung nilai simpangan baku (s).
   • Probabilitas P(a < x < b)

Probabilitas distribusi normal  pada interval  ditentukan dengan memakai luas daerah di bawah kurva  sebagaimana ditunjukkan oleh Gambar 10.6 berikut:

Gambar 10.6. Luas Daerah di Bawah Kurva

Pada gambar 10.6, probabilitas  ditunjukkan oleh luas daerah diarsir, yang dibatasi oleh kurva , sumbu , garis tegak , dan . Oleh karena  merupakan fungsi kontinu, maka probabilitas  dihitung dengan memakai integral dari fungsi  yang dibatasi oleh  dan , yaitu:

Rumus integral tersebut sangat berguna untuk menghitung daerah di bawah kurva distribusi normal standar.  Akan tetapi, secara matematis bentuk integral dari fungsi  tersebut sulit dipecahkan secara langsung dengan teknik integral. Oleh karena itu, penyelesaiannya dilakukan dengan memakai transformasi nilai-nilai  menjadi nilai-nilai baku , yaitu:

Gambar 10.7. Transformasi Nilai-nilai X Menjadi Nilai-nilai Baku Z

Dengan transformasi tersebut kita peroleh distribusi normal  yang mempunyai rata-rata  dan simpangan baku  atau ditulis . Distribusi normal  seperti ini disebut distribusi normal standar. Dengan demikian fungsi distribusi  berubah menjadi fungsi distribusi , yaitu:

Berdasarkan fungsi distribusi Z tersebut, probabilitas nilai-nilai Z pada interval  ditunjukkan oleh luas daerah yang diarsir pada Gambar 10.8 berikut ini.

Gambar 10.7. Probabilitas Nilai-nilai Z pada Interval Tertentu

Selanjutnya probabilitas  dihitung dengan rumus berikut.

Berdasarkan integral dari fungsi distribusi normal standar tersebut, probabilitas  dihitung dengan memakai Tabel Distribusi Normal Standar. Perhatikan bahwa nilai-nilai yang ada dalam tabel tersebut menunjukkan probabilitas dari nilai-nilai  mulai dari  sampai dengan  (positif), yaitu .

Contoh 1

Tentukan probabilitas dari nilai Z berikut ini:

Jawab:

Gunakan Tabel Distribusi Normal Standar . Perhatikan luas daerah yang diarsir pada gambar di sebelah kiri yang menunjukkan probabilitas nilai Z yang hendak dihitung. Oleh karena  fungsi kontinu, maka

1. Daerah

Dari tabel diperoleh:

Gambar 10.8. Luas Daerah antara 0 Sampai Dengan 1,54

1. Daerah

Karena fungsi distribusi normal standar simetri terhadap , maka probabilitas

Gambar 10.9. Luas Daerah antara -2,53 Sampai Dengan 0

1. Daerah

Karena  maka:

   Gambar 4.10. Luas Daerah Probabilitas Antara -1,62 Sampai 1,62

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.11. Luas Daerah Antara -2,75 Sampai Dengan -1,52

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.12. Luas Daerah Antara 1,42 Sampai Dengan 2,54

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.13. Luas Daerah di Bawah Kurva yang Lebih Besar 1,75

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.14. Luas Daerah di Bawah Kurva Normal yang Lebih Kecil -1,75

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.15. Luas Daerah di Bawah Kurva Normal yang Lebih Kecil -1,52

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.16. Luas daerah di bawah kurva normal yang lebih kecil 0,97

1. Daerah

Perhatikan bahwa:

Gambar 10.17. Luas Daerah di Bawah Kurva Normal Antara -1,43 Sampai 2,53

Contoh 2

Bila  adalah variabel acak berdistribusi normal dengan rata-rata  dan simpangan baku  tentukanlah probabilitas

Jawab:

Kita ubah dulu variabel  yang berdistribusi normal menjadi variabel  yang berdistribusi normal standar dengan transformasi berikut ini.

Maka diperoleh:

Dengan demikian probabilitas:

• Fungsi Distribusi Kumulatif

Seringkali perhitungan probabilitas variabel random Z yang berdistribusi normal standar lebih mudah dilakukan dengan memakai fungsi distribusi kumulatif. Bila variabel random Z berdistribusi normal standar dengan fungsi padat probabilitas , maka fungsi distribusi kumulatif dari Z yang ditulis  dirumuskan sebagai berikut (Gunawan, 2007):

Daerah diarsir pada gambar 10.19 berikut ini menunjukkan fungsi distribusi kumulatif

Gambar 10.18. Kurva Fungsi Distribusi Kumulatif

Grafik dari fungsi distribusi kumulatif  ditunjukkan pada gambar 10. 20 berikut ini.

Gambar 10.19. Grafik Fungsi Distribusi Kumulatif

Sifat-sifat fungsi distribusi kumulatif  adalah sebagai berikut:

1. monoton naik
2.  
3. dan

Perhatikan bahwa grafik  tidak memotong sumbu  dan juga tidak memotong garis . Oleh karena itu, sumbu  dan garis  merupakan garis batas (asimtot) dari grafik . Dengan memakai fungsi distribusi kumulatif , maka probabilitas  dihitung dengan memakai rumus berikut.

Nilai-nilai probabilitas dari fungsi distribusi kumulatif dari distribusi normal standar terdapat dalam tabel distribusi kumulatif normal standar.

Contoh 3

Bandingkan hasilnya dengan jawaban Contoh 1 dan Contoh 2.

• Penggunaan Kurva Normal Standar

            Untuk menentukan luas daerah di bawah kurva normal standar, telah dibuat daftar distribusi normal standar, yaitu tabel luas kurva normal standar dengan nilai-nilai Z tertentu. Dengan daftar tersebut, bagian-bagian luas dari distribusi normal standar dapat dicari. Karena seluruh luas kurva adalah 1 dan kurva simetris terhadap  maka luas dari garis tegak pada titik nol ke kiri ataupun ke kanan adalah 0,5, dan diartikan: . Luas daerah di bawah kurva normal pada interval tertentu dituliskan: .

Contoh 4

Akan dihitung nilai: , langkah-langkahnya ialah:

•  
• Dengan tabel luas kurva normal standar, dicari 2,1 pada kolom Z (kolom paling kiri) dan 0,03 pada baris pertama (baris paling atas);
• Pertemuan baris 2,1 dan kolom 0,03 merupakan nilai Z dari , yaitu 0,4834.

Contoh 5

Dengan menggunakan tabel, hitunglah nilai dari:

Jawab

1. Karena kurva simetris pada maka  . Dari tabel diperoleh nilai untuk .

Jadi,

1. dapat diubah menjadi:

1. dapat diubah menjadi:

            Beberapa bagian luas di bawah kurva untuk distribusi normal umum dengan rata-rata  dan simpangan baku  tertentu, dapat ditentukan. Artinya, jika sebuah kejadian memiliki distribusi normal maka dari kejadian itu (Hasan, 2008):

• Kira-kira 68,27% dari kasus ada dalam daerah satu simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu dan
• Kira-kira 95,45% dari kasus ada dalam daerah dua simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara dan ;
• Kira-kira 99,73% dari kasus ada dalam daerah tiga simpangan baku sekitar rata-rata, yaitu antara dan ;
• Sekalipun secara teoretis ujung kurva normal ke kanan dan ke kiri tak berhingga jauhnya, namun praktis dalam jarak lebih dari tiga simpangan baku dari rata-ratanya luas kurva normal itu tidak berarti lagi (kurang dari 1%)

Untuk menentukan luas daerah kurva normal (yang bukan baku) dilakukan transformasi dengan menggunakan nilai Z. Cara transformasinya ialah sebagai berikut.

1. Menghitung nilai Z sampai dua desimal.
2. Menggambar kurva normal standarnya.
3. Meletakkan nilai Z pada sumbu X, kemudian menarik garis vertikal yang memotong kurva.
4. Nilai yang terdapat dalam daftar merupakan luas daerah antara garis tersebut dengan garis vertikal di titik nol.
5. Dalam daftar distribusi normal standar, mencari tempat harga Z pada kolom paling kiri hanya sampai satu desimal dan mencari desimal keduanya pada baris paling atas.
6. Dari Z di kolom kiri maju ke kanan dan dari Z di baris atas turun ke bawah, sehingga didapat bilangan yang merupakan luas daerah yang dicari.

Untuk mencari nilai Z, apabila luas kurva diketahui maka dilakukan langkah sebaliknya.

Contoh 6

Hitunglah  untuk

Jawab

 dan

Untuk

Untuk

Dengan demikian

Jadi,

Contoh 7

Sebuah perusahaan memproduksi bola lampu yang ketahanannya berdistribusi normal dengan rata-rata 825 jam dan simpangan baku 45 jam.

1. Berapa persen lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam?
2. Berapa banyak lampu yang tahan lebih dari 950 jam, jika diproduksi 5.000 lampu?

Jawab

 jam dan  jam

1. jam

      jam

Didapatkan

Jadi, terdapat 49,11% lampu yang ketahanannya antara 800 dan 860 jam.

1. jam

Diperoleh

Jadi, terdapat  atau 14 lampu yang tahan lebih dari 950 jam, apabila diproduksi lampu sebanyak 5.000 buah.

• Hubungan Antara Distribusi Normal dan Distribusi Binomial

            Distribusi binomial akan mendekati distribusi normal jika nilai  sama dengan  dan nilai  sebesar. Namun dalam prakteknya, distribusi normal (kurva normal) dapat digunakan untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial (probabilitas binomial) sekalipun  tidak sama dengan dan  relatif kecil. Seperti diketahui, distribusi binomial bervariabel diskrit sedangkan distribusi normal (kurva normal) bervariabel kontinu (Richard Lungan, 2006). Karena itu, penggunaan distribusi normal (kurva normal) untuk menyelesaikan kasus distribusi binomial dapat dilakukan dengan menggunakan aturan (penyesuaian), yaitu menggunakan faktor koreksi. Caranya ialah menambahkan atau mengurangi variabel -nya dengan 0,5, sebagai berikut:

• Untuk batas bawah (kiri), variabel dikurangi 0,5.
• Untuk batas atas (kanan), variabel ditambah 0,5.

Dengan demikian, rumus -nya menjadi:

     Dengan                             

Contoh 8

Sebuah uang logam yang setimbang memiliki permukaan angka (A) dan gambar (G), dilemparkan ke atas sebanyak 15 kali. Tentukan probabilitas untuk mendapatkan 10 kali permukaan gambar (G) (gunakan distribusi binomial dan kurva normal) !

Jawab

1. Menggunakan distribusi binomial
2. Menggunakan kurva normal

Karena nilai variabel  adalah 10 maka:

• Untuk batas bawahnya
• Untuk batas atasnya

Nilai  dan  adalah sebagai berikut.

 (dari tabel normal, luasnya 0,3485)

 (dari tabel normal, luasnya 0,4394)

Jadi,

Perbedaan hasil antara rumus binomial dan kurva normal sebesar 0,0007 sangat kecil, sehingga dapat diabaikan.

Rangkuman

Distribusi normal merupakan probabilitas peristiwa untuk variabel random kontinu yang berbentuk simetris dan memiliki poros di tengah-tengah distribusi. Distribusi normal merupakan salah satu distribusi yang paling banyak digunakan dalam praktik penelitian di lapangan. Beberapa ciri distribusi normal adalah : (1) Nilai mean = median = modus; (2) Bentuk grafik simetri terhadap garis tegak  ; (3) Grafik selalu berada di atas sumbu  atau  ; (4) Mempunyai satu nilai modus; (5) Luas daerah di bawah kurva  dan di atas sumbu  = 1, yaitu  ; (6) Model kurva leptokurik, platikurtik, dan mesokurtik bergantung nilai simpangan baku; (7) Ujung-ujung grafiknya berasimtut terhadap sumbu horizontal X, dimulai dari X – 3 ke kiri dan X + 3 ke kanan. Bila harga  semakin kecil maka kurvanya semakin menjulang tinggi (leptokurtik) dan sebaliknya bila harga  semakin besar maka kurvanya semakin menjulang ke bawah (platikurtik). Distribusi kumulatif merupakan alat yang digunakan untuk mempermudah perhitungan probabilitas variabel random z yang berdistribusi normal. Rumus-rumus yang digunakan dalam menyelesaikan distribusi normal adalah :

1. Perumusan distribusi normal:
2. Perumusan probabilitas P (a < x < b):
3. Perumusan transformasi nilai x untuk distribusi normal:
4. Perumusan probabilitas P (z₁ < Z < z₂):
5. Perumusan fungsi distribusi kumulatif:

Evaluasi Mandiri

1. Diketahui variabel random mempunyai distribusi normal dengan rata-rata 18 dan standar deviasi 2,5. Hitunglah:
2. ;
3.  
4. Nilai k sehingga
5. Dari pengiriman sebanyak 1.000 rim kertas Koran dengan berat 60 gram diketahui bahwa rata-rata tiap rimnya berisi 450 lembar dengan standar deviasi 10 lembar. Jika distribusi jumlah kertas per rim tersebut berdistribusi normal, berapa persen dari rim kertas itu yang berisi 455 lembar atau lebih?
6. Nilai ujian Statistik sebagian besar mahasiswa mempunyai distribusi normal dengan cara-cara dan standar deviasi . Jika  menyatakan nilai-nilai mahasiswa tersebut, berapakah batas nilai  agar 10% dari kelompok nilai terendah berada di bawah
7. Suatu percobaan mengenai ukuran ruang memori dengan menggunakan metode Quickshort menyatakan bahwa ukuran penggunaan ruang memori berdistribusi normal dengan rata-rata 510,8 byte dan simpangan baku 40,67 byte
8. Berapa persen dalam percobaan tersebut ditemukan ruang memori yang melebihi 600 byte
9. Jika ditemukan 10 buah percobaan mempunyai ruang memori berkisar antara 500 sampai 550 byte, berapakah jumlah percobaan yang telah dilakukan oleh peneliti?
10. Jika dalam percobaan tersebut ditemukan bahwa 10% hasil terendah, berapakah ukuran memori tertinggi dari kelompok hasil percobaan dengan ukuran memori terendah tersebut?
11. Dari 200 mahasiswa yang mengikuti ujian Kalkulus di suatu universitas, diperoleh bahwa nilai rata-rata adalah 60 dan standar deviasi adalah 10. Bila distribusi nilai menyebar secara normal, berapa:
12. Persen yang mendapat nilai A, jika nilai
13. Persen yang mendapat nilai , jika nilai C terletak pada interval
14. Persen yang mendapat nilai E, jika nilai
15. Sebuah uang logam yang setimbang dilemparkan sebanyak 10 kali. Dengan memakai pendekatan distribusi normal terhadap distribusi binomial, tentukanlah probabilitas untuk memperoleh antara 3 sampai dengan 6 sisi muka!
16. Di suatu daerah sebanyak 10% dari penduduknya tergolong kategori A. Suatu sampel acak terdiri atas 400 penduduk telah diambil. Tentukanlah probabilitas akan mendapat:
17. Paling banyak 30 orang tergolong kategori A;
18. Antara 30 sampai dengan 50 orang tergolong kategori A;
19. 55 orang atau lebih tergolong kategori
20. Tentukanlah nilai probabilitas variabel random Z berikut ini.
21.                                 
22.                              
23.                             
24.                             
25.                       
26. Suatu variabel random X mempunyai distribusi normal dengan rata-rata dan simpangan baku . Tentukanlah:
27.                                           nilai  agar
28.                                           nilai  agar
29.  
30. Krisis moneter menyebabkan tingkat penjualan rumah mengalami penurunan. Dari seluruh pengembang perumahan menengah di daerah A diketahui tingkat penjualan rata-rata 6,34 milyar rupiah dengan simpangan baku 2,48 milyar rupiah.

Jika diasumsikan tingkat penjualan berdistribusi normal:

1. Hitung peluang sebuah pengembang mempunyai tingkat penjualan minimal 10 milyar rupiah!
2. Jika di daerah tersebut terdapat 40 pengembang perumahan menengah, perkirakan jumlah pengembang yang mempunyai tingkat penjualan 4 milyar rupiah sampai 8 milyar rupiah!
3. Suatu penelitian yang dilakukan oleh seorang mahasiswa menyebutkan bahwa secara rata-rata seorang pengunjung mengeluarkan uang belanja di suatu pusat perbelanjaan adalah Rp247.000,00 dengan simpangan baku Rp84.600,00 Jika diasumsikan bahwa distribusi banyaknya uang yang dikeluarkan untuk belanja adalah distribusi normal berapakah:
4. Probabilitas orang itu mengeluarkan uang belanja paling sedikit Rp300.000.00;
5. Probabilitas orang itu mengeluarkan uang belanja antara Rp200.000,00 sampai Rp400.000,00?
6. Jika diasumsikan banyaknya pengunjung di pusat perbelanjaan itu mencapai 200 orang setiap hari, berapa banyak orang yang diperkirakan mengeluarkan uangnya untuk berbelanja sebanyak-banyaknya Rp150.000,00?
7. Suatu universitas mulai mengadakan penerimaan mahasiswa untuk tahun akademis tertentu. Tes masuk meliputi tes pendahuluan, yaitu tes potensi akademik (TPA) dan tes lanjutan dengan materi Bahasa Inggris dan Bahasa Indonesia. Dengan memakai kriteria tertentu, peserta tes pendahuluan dapat diterima langsung sebagai mahasiswa; artinya mereka dibebaskan dari tes lanjutan. Dengan demikian TPA mempunyai bobot paling besar untuk menentukan bisa tidaknya seorang peserta diterima di universitas itu. Berdasarkan pengalaman tes tahun-tahun yang lalu, diketahui bahwa skor TPA mempunyai rata-rata dan simpangan baku . Skor TPA dari 5.000 orang peserta tes masuk universitas tersebut ternyata mempunyai distribusi normal.
8. Bila yang akan diterima langsung hanya 10% dari jumlah peserta tes, berdasarkan hasil tes TPA yang skornya tinggi, berapa skor minimum dari kelompok skor TPA tertinggi agar peserta dapat diterima langsung?
9. Sebaliknya mereka yang memperoleh skor TPA 260 atau kurang akan langsung dinyatakan gugur; tidak boleh mengikuti tes lanjutan. Berapakah banyak peserta yang langsung dinyatakan gugur pada seleksi tersebut?
10. Suatu studi terhadap narapidana di rumah tahanan ingin mempelajari penyesuaian sosial narapidana tersebut di rumah tahanan dan prospeknya untuk rehabilitas setelah dibebaskan. Setiap narapidana diberi ujian mengenai penyesuaian sosial. Nilai-nilai ujian ternyata menyebar secara normal dengan nilai rata-rata 100 dan standar deviasi 20. Ahli psikologi rumah tahanan memberi peringkat setiap narapidana berdasarkan prospek mereka untuk rehabilitas. Peringkat ini juga menyebar secara normal dengan nilai rata-rata 495 dan standar deviasi 99. Si Teten memperoleh nilai 745 dalam ujian penyesuaian sosial dan peringkatnya berdasarkan prospek rehabilitas adalah 334.
11. Bagaimana hasil ujian Si Teten dibandingkan dengan teman-temannya berdasarkan tanggung jawab sosial dan prospek rehabilitasinya?
12. Bagaiaman interpretasi Anda?
13. Dalam suatu ujian Bahasa Inggris nilai rata-rata adalah 82 dengan simpangan baku 7,5. Diketahui bahwa nilai-nilai ujian Bahasa Inggris itu berdistribusi normal.
14. Andaikan nilai B berada pada interval . Jika ada 10 mahasiswa yang memperoleh nilai B, berapa orang peserta ujian tersebut?
15. Bila nilai ditentukan , berapakah banyaknya mahasiswa yang memperoleh nilai
16. Berapa persen dari jumlah mahasiswa yang memperoleh nilai tertinggi 60?
17. Jika ada 10% peserta yang mendapat nilai E, berapa nilai tertinggi untuk kelompok mahasiswa yang mendapat nilai E tersebut?
18. Suatu mesin dapat membuat suatu alat tahanan listrik dengan rata-rata tahanan 47,3 ohm dan simpangan baku 4,8 ohm. Tahanan tersebut membayar mengikuti distribusi normal.
19. Hitunglah probabilitas mesin tersebut yang mampu menghasilkan tahanan melebihi 50 ohm!
20. Jika ada 5.000 alat yang dihasilkan, berapa banyak alat yang mempunyai tahanan antara 40 sampai dengan 50 ohm?
21. Jika ada 10% tahanan yang paling rendah, berapa sebenarnya nilai tahanan tertinggi untuk kelompok tersebut?

Untuk mendapatkan keuntungan tanpa risiko, pengalaman tanpa bahaya dan penghargaan tanpa kerja adalah hal yang sama tidak masuk akalnya seperti ingin hidup tanpa pernah dilahirkan.

A.P. Gouthey