PERMUTASI DAN KOMBINASI

BAB VII

PERMUTASI DAN KOMBINASI

Saya berfikir bahwa ada suatu hal yang lebih penting daripada sekadar percaya:

Tindakan! Dunia ini penuh dengan pemimpi, tidaklah banyak orang yang berani

maju ke depan dan mulai mengambil langkah pasti untuk mewujudkan visi mereka.

Clement Stone

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pemahaman kaidah pencacahan, bilangan faktorial, pengertian permutasi, pengertian kombinasi, merumuskan permutasi dan kombinasi, jenis-jenis permutasi: permutasi melingkar (keliling), permutasi dari sebagian anggota yang sama jenisnya, permutasi dari obyek dengan pemulihan, dan permutasi atas sebagian obyek dari seluruh obyek yang tidak dapat dibedakan.

• Pendahuluan

Aturan probabilitas (peluang) yang telah diuraikan sebelumnya meliputi penghitungan probabilitas (peluang) peristiwa (hasil percobaan) yang sukses dari peristiwa yang mungkin terjadi secara keseluruhan. Pada percobaan yang dilakukan secara berulang dan frekuensi percobaan yang dilakukan tinggi menyebabkan formula probabilitas yang telah dibahas pada bagian sebelumnya sulit untuk digunakan. Misalnya kita melakukan percobaan dengan melempar koin sebanyak 10 kali, bagaimana kita dapat menentukan banyaknya kemungkinan hasil percobaan tersebut (muncul sisi gambar atau sisi angka)? Tentunya sulit bagi kita untuk menentukannya menggunakan formulasi yang telah kita bahas pada bagian sebelumnya. Oleh karena itu kita dapat menggunakan kaidah penggandaan, konsep faktorial, permutasi, dan kombinasi untuk menentukan probabilitas suatu peristiwa.

Hal penting yang harus dipecahkan dalam kaidah pencacahan titik contoh adalah pengaruh faktor kebetulan yang berkaitan dengan kejadian-kejadian tertentu bila suatu percobaan dilakukan. Problem ini disebut probabilitas. Penyelesaian probabilitas yang sangat rumit dapat dilakukan dengan menghitung kemungkinan-kemungkinan yang akan terjadi dalam ruang contoh atau ruang sampel. Dalam kaitannya dengan teori probabilitas, mencacah titik contoh objek atau unsur dalam ruang sampel merupakan hal yang sangat penting.

Misalkan keluarga Yanto berlibur ke Jakarta dan merencanakan mengunjungi 4 tempat wisata yang berbeda selama 4 hari. Keempat tempat wisata tersebut adalah Taman Impian Jaya Ancol, Taman Mini Indonesia Indah, Kebun Binatang Ragunan, dan Monas. Berapa banyak jadwal kunjungan keluarga Yanto dapat memilih satu dari empat wisata, hari kedua dapat memilih satu diantara tiga tempat wisata, hari ketiga dapat memilih satu diantara dua tempat wisata dan hari terakhir hanya dapat mengunjungi satu tempat wisata. Jadi secara keseluruhan dapat menyusun jadwal kunjungan ke tempat wisata sebanyak 4 x 3 x 2 x 1 = 60 cara. Sekarang misalkan rencana kunjungan ke tempat wisata bertambah dua yaitu Museum Sejarah dan Taman Bunga Mekarsari.

Bila jadwal kunjungan pun berubah yaitu dalam satu hari mengunjungi dua tempat wisata, bagaimana urutan penyusunan kunjungan keenam tempat wisata itu? Dengan perubahan rencana ini penyusunan jadwal kunjungan mereka sekarang menjadi 15 cara. Bagaimana menghitungnya? Mencacah titik dalam ruang contoh selain dilakukan dengan cara mendaftarkan lebih dahulu obyek-obyeknya, juga dapat dilakukan dengan menggunakan kaidah penggandaan, faktorial, permutasi dan kombinasi sebagaimana dijelaskan di atas.

• Kaidah Pencacahan

Bila ada n₁ cara untuk mengerjakan suatu hal dan ada n₂ cara untuk mengerjakan hal lain, maka akan terdapat n₁ x n₂ cara untuk mengerjakan bersama-sama kedua hal tersebut. Jika ada n₁ cara mengerjakan pekerjaan pertama dan ada n₂ cara untuk mengerjakan pekerjaan kedua serta ada n₃ cara untuk mengerjakan pekerjaan ketiga, maka terdapat n₁ x n₂ x n₃ cara mengerjakan bersama-sama ketiga pekerjaan tersebut. Pernyataan ini dapat diperluas lagi untuk empat kejadian atau lebih. Misalnya ada n₁ cara untuk mengerjakan pekerjaan pertama, n₂ cara untuk mengerjakan pekerjaan kedua, dan seterusnya dan akhirnya ada n_k cara untuk mengerjakan pekerjaan ke-k, maka ada n₁ x n₂ x n₃…….n_k cara untuk mengerjakan bersama-sama pertama hingga pekerjaan ke-k.

Contoh 1.

Seorang karyawan swasta memiliki 5 baju  lengan panjang berbagai merk dan 4 celana panjang . Berapa banyak kombinasi pasangan pakaian yang dapat dipakai ke kantor.

Jawab

Tabel 7.1. Kombinasi Pasangan Pakaian di Kantor

Jumlah baju  dan jumlah celana . Jadi banyaknya alternatif pemilihan pakaian yang dapat dipakai berangkat ke kantor adalah

Contoh 2.

Bila sepasang dadu dilemparkan sekali, berapa banyak titik contoh dalam ruang contohnya?

Jawab

Dadu pertama mendarat dalam  cara. Dadu kedua pun mendarat dalam  cara pula. Dengan demikian sepasang dadu dapat mendarat:

Contoh 3.

Berapa banyak bilangan ganjil yang terdiri atas tiga angka yang dapat dibentuk dari angka-angka 5, 6, 7, 8 dan 9 bila setiap angka hanya dapat digunakan sekali.

Jawab

Oleh karena bilangannya harus ganjil, maka hanya mempunyai 3 pilihan posisi satuan . Untuk setiap pilihan tersedia  posisi puluhan dan tersedia  posisi ratusan.

Jadi, kita dapat membentuk sebanyak 36 bilangan ganjil yang terdiri atas tiga angka.

Contoh 4.

Developer real estate menawarkan kepada konsumen 3 tipe rumah (tipe anggrek, dahlia, tulip), 2 macam bentuk garasi dan 3 macam sistem pemanasan. Berapa macam rancangan rumah yang tersedia bagi konsumen.

Tipe rumah , bentuk garasi , sistem pemanasan . Jadi banyaknya macam rancangan rumah adalah

• Bilangan Faktorial

Bilangan  bilangan bulat positif, maka bilangan faktorial ditulis dengan  dan didefinisikan sebagai:

Contoh 5.

Contoh 6

Pembagian bilangan faktorial dengan bilangan faktorial dilakukan dengan cara menyederhanakan pembilang dan penyebut, yaitu:

Terlihat bahwa semakin besar bilangan n, maka bilangan faktorial n! membesar dengan cepat.

• Permutasi

Pandanglah himpunan  yang mempunyai tiga anggota, yaitu a, b, dan c! oleh karena banyaknya anggota himpunan tersebut n=3, maka kita dapat mengambil seluruhnya atau sebagian dari anggota himpunan tersebut. Katakanlah kita ambil seluruhnya r = 3, kita ambil dua r = 2, kita ambil satu r = 1, atau tidak diambil r = 0. Dari susunan atau rangkaian dengan memberi arti pada urutan letak anggota pada susunan tersebut. Dengan demikian, kita peroleh jenis-jenis susunan yang ditentukan oleh urutan letak anggota himpunan tersebut pada setiap susunan.

Bila diambil 1 anggota, , tentu susunan itu ada tiga, yaitu:

a          b          c

Bila diambil 2 anggota, , kita peroleh susunan yang terdiri atas dua anggota, yaitu:

ab        ac         bc

ba        ca         cb

Kita peroleh sebanyak 6 susunan.

Jenis susunan ab berbeda dengan jenis susunan ba, ab ≠ ba, sebab letak a pada susunan pertama berbeda artinya dengan letak a pada susunan kedua,yaitu a terletak pada urutan pertama dari susunan ab dan a terletak pada urutan kedua dari susunan ba. Begitu juga ac berbeda dengan susunan ca, dan susunan bc berbeda dengan susunan cb. Dengan demikian, keenam susunan itu berbeda satu sama lain.

Bila diambil 3 anggota, , kita peroleh susunan yang terdiri atas 3 anggota, yaitu:

abc       bac       cab

acb       bca       cba

Kita peroleh sebanyak 6 susunan.

            Jenis susunan abc berbeda dengan jenis susunan acb, sebab pada susunan pertama b terletak diurutan kedua dan c terletak diurutan ketiga, sedangkan pada susunan kedua c terletak diurutan kedua dan b terletak diurutan ketiga, sementara a terletak diurutan pertama pada dua susunan terserbut. Demikian juga susunan bac berbeda dengan susunan bca, susunan cab berbeda dengan susunan cba sehingga pada akhirnya 6 susunan itu berbeda semuanya. Kesimpulannya, bila kita mempunyai suatu himpunan yang terdiri atas beberapa anggota, kemudian kita ambil anggota-anggotanya sebagian atau seluruhnya, maka kita dapat membuat sejumlah susunan dengan memberi arti pada urutan letak anggota pada susunan-susunan tersebut dan banyaknya susunan yang diperoleh ditentukan oleh banyaknya anggota himpunan itu sendiri dan berapa banyak anggotanya diambil.

Dengan cara tersebut kita peroleh definisi permutasi, yaitu Susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian anggota himpunan dan memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut permutasi yang ditulis P.  Dengan demikian dapat dikatakan bahwa, permutasi adalah suatu susunan yang dibentuk dari keseluruhan atau sebagian dari sekumpulan obyek. Misalkan ingin mengetahui berapa banyak kemungkinan susunan yang dapat dibentuk bila 4 orang duduk mengelilingi meja. Atau berapa banyak susunan yang mungkin jika kita mengambil 2 kelereng dari 5 kelereng. Bila himpunan itu terdiri atas n  anggota dan diambil sebanyak r, tentu saja , maka banyaknya susunan yang dapat dibuat dengan permutasi tersebut adalah:

Cara lain yang dipakai menuliskan  adalah .

Contoh 7.

1. Bila = 4 dan  = 2,
2. Bila dan ,

Contoh 8.

1. Bila diambil 1, , maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah susunan

Tiga susunan itu adalah a b c (lihat uraian di atas).

2. Bila diambil , maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah susunan

(Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas).

3. Bila diambil maka banyaknya susunan yang diperoleh adalah  susunan

Keenam jenis susunan dapat dilihat pada uraian di atas.

• Beberapa Jenis Permutasi
  • Permutasi Atas Seluruh Obyek

Perhatikanlah tiga huruf a-b-c. kemungkinan permutasinya adalah abc, acb, bca, bac, cab, dan cba. Ada 6 susunan yang berbeda. Penjelasannya adalah ada tiga posisi yang harus diisi dalam ruang contoh oleh ketiga huruf tersebut. Artinya kita mempunyai 3 pilihan untuk posisi pertama, 2 pilihan untuk posisi kedua dan 1 pilihan untuk posisi ketiga, sehingga semuanya (3).(2).(1) = 6 permutasi.

            Secara umum, jika terdapat sejumlah n benda yang berbeda akan memberikan susunan sebanyak jumlah obyek faktorial. Dalam hal permutasi seluruh obyek yang telah diambil tidak dikembalikan dinyatakan . Perumusan permutasi ini adalah:

Bentuk  disebut faktorial. Jadi, hasil permutasi tiga huruf a-b-c menghasilkan 6 permutasi yang merupakan perkalian dari . Rumus 2.3 dapat juga dinyatakan sebagai:

dengan

Contoh 9.

Berapa banyak susunan bilangan terdiri 7 angka dapat dibentuk dari angka-angka 1, 2, 3, 5, 6, 8 dan 9.

Jawab

Karena dari ketujuh angka diambil seluruhnya, maka banyak bilangan yang dibentuk adalah.

Jadi, banyak kemungkinan susunan bilangan adalah 5.040 cara.

Contoh 10.

Enam orang pengunjung bioskop terdiri 4 laki-laki dan 2 perempuan duduk di kursi yang disusun memanjang. Berapa kemungkinan susunan tempat duduk yang berbeda bila duduknya bebas.

Jawab

Soal di atas dapat diselesaikan dengan menggunakan sistem sel yang menggambarkan tempat duduk. Kursi ke-1 dapat diisi dengan 6 kemungkinan, kursi ke-2 diisi dengan 5 kemungkinan, …, kursi ke-5 diisi dengan 2 kemungkinan dan kursi ke-6 diisi dengan 1 kemungkinan.

. Jadi,

Dengan demikian banyak kemungkinan susunan tempat duduk yang berbeda ada 720 cara.

Contoh 11.

Lima orang nasabah terdiri 2 laki-laki dan 3 perempuan antri di depan customer service. Ada berapa kemungkinan susunan antrian tersebut bila antriannya bebas tidak beraturan.

Jawab

Jumlah nasabah  orang dengan susunan bebas

Jadi, banyaknya kemungkinan susunan antrian bebas adalah 120 cara.

• Permutasi Atas Sebagian Dari Seluruh Obyek

Bila seluruh obyek n yang berbeda dipermutasikan sebagian r obyek, maka pemilihan sebagian obyek tersebut akan memberikan susunan sebagai alternatif sebanyak permutasi n faktorial dari seluruh obyek dibagi sebanyak sisa permutasi dari sisa banyaknya obyek yang tidak terpilih yaitu (n-r) faktorial. Permutasi atas sebagian dari seluruh obyek dinyatakan sebagai:

Jika penyebut dan pembilang pada ruas kanan dikalikan dengan  menghasilkan:

Dimana .

Contoh 12.

Berapa jumlah permutasi yang dapat dibentuk dua huruf dari huruf A, B dan C. gambarkan dengan diagram pohon.

Obyek    Pilihan pertama    Elemen ruang contoh

Gambar 7.1. Diagram Pohon.

Ruang contohnya adalah . Jadi dari 3 huruf yang dipermutasikan maksing-masing sebanyak 2 tanpa pemulihan diperoleh permutasi sebanyak 6 cara.

Contoh 13.

Kamar di Klinik Bersalin “Harapan Ibu” hanya bisa menampung 3 pasien yang akan melahirkan. Bila pada hari itu datang 6 pasien yang akan melahirkan, dalam berapa cara dapat disusun kemungkinan keenam pasien dapat dirawat inap.

Jawab

Banyaknya cara penerimaan 3 pasien rawat inap dari 6 pasien yang datang, di sini r = 3 dan n = 6 sehingga permutasi yang dapat disusun dari 3 pasien yang diambil secara acak dari 6 pasien adalah :

Jadi, banyaknya kemungkinan susunan rawat inap pasien yang akan melahirkan adalah 120 cara

Contoh 14.

Sebanyak 3 kupon diambil dari 5 buah kupon untuk menentukan hadiah pertama, kedua dan ketiga. Hitunglah banyaknya titik contoh dalam ruang contohnya.

Jawab

Mengikuti rumus 2.5 permutasi yang dapat disusun dari 3 kupon yang diambil secara acak dari 5 kupon yaitu r = 3 dan n = 5.

Dengan menggunakan bentuk faktorial, hasil di atas dapat juga dihitung sebagai berikut:

Contoh 15.

Dalam kepengurusan RW akan dipilih 3 orang untuk duduk sebagai ketua (K), sekretaris (S) dan bendahara (B). Bila diketahui ada 6 calon pengurus RW yang terdiri dari 4 laki-laki dan 2 perempuan, ada berapa susunan kepengurusan RW yang dapat dibentuk: (a) Keenam calon mempunyai kemungkinan sama, (b) Ketuanya laki-laki, (c) Ketua laki-laki dan sekretaris perempuan, (d) Asep Sukidi sebagai ketua RW dan (e) Ketuanya Asep Sukidi dan sekretarisnya Damayanti (di sini n = 6 dan r = 3).

Jawab

1. Bila keenam calon mempunyai kemungkinan sama, maka banyaknya kemungkinan, n = 6 x 5 x 4 atau
2. Bila ketuanya laki-laki di mana laki-laki ada 4 orang, maka ketua dapat diisi 4 kemungkinan. Kemungkinan jabatan sekretaris tinggal 5 orang dan kemungkinan bendahara hanya 4 orang. Jadi kemungkinan ketuanya laki-laki adalah n = 4 x 5 x 4 = 80 cara.
3. Bila ketuanya laki-laki dan sekretarisnya perempuan, berarti ketua dapat diisi 4 laki-laki dengan 4 kemungkinan dan sekretaris dapat diisi 2 perempuan dengan 2 kemungkinan. Selanjutnya tinggal 4 orang yang akan mengisi jabatan bendahara. Jadi kemungkinan ketuanya laki-laki dan sekretarisnya perempuan adalah n = 4 x 2 x 4 = 32 cara.
4. Asep Sukidi sebagai ketua, karena ketua sudah ditentukan dengan 1 kemungkinan, maka untuk jabatan sekretaris dapat diisi 5 orang dengan 5 kemungkinan bendahara 4 kemungkinan. Jadi kemungkinan ketuanya Asep Sukidi adalah n = 1 x 5 x 4 = 20 cara.
5. Asep Sukidi sebagai ketua dan Damayanti sekretaris, masing-masing mempunyai 1 kemungkinan. Adapun jabatan bendahara dapat diisi 4 orang dengan 4 kemungkinan. Jadi kemungkinan ketuanya Asep Sukidi dan sekretaris Damayanti adalah n = 1 x 1 x 4 = 4 cara.
   • Permutasi dari Obyek Dengan Pemulihan

Bila suatu permutasi sebanyak  obyek dari  obyek dengan pengulangan, artinya obyek dapat digunakan beberapa kali maka permutasinya dinyatakan sebagai:

Contoh 16.

Akan dibuat nomor regristrasi becak yang terdiri 3 angka yang angka-angkanya dipilih dari kumpulan . Hitunglah kemungkinan seri nomor becak yang dapat disusun bila setiap angka boleh digunakan beberapa kali.

Jawab

Di sini n = 10 dan r = 3. Bila angka yang tersedia dapat digunakan hingga 3 kali, maka sel dapat diisi masing-masing sebanyak 10 kemungkinan.

Jadi, banyaknya kemungkina susunan register becak adalah 1.000 cara.

Contoh 17.

Misalkan sebanyak 3 orang (K, L, M) pedagang kakilima akan ditempatkan masing-masing 2 orang dengan pemulihan. Hitunglah berapa permutasi yang dapat dibentuk. Gambarlah dengan diagram pohon?

Jawab

Berdasarkan rumus 2.6, jumlah permutasi untuk n = 3 dan r = 2 adalah sebanyak .

Obyek Pilihan pertama           Elemen ruang contoh

Gambar 3.2. Diagram Pohon.

Ruang contohnya adalah . Jadi dari 3 orang pedagang kakilima yang dipermutasikan dengan pemulihan masing-masing sebanyak 2 akan diperoleh permutasi sebanyak 9 cara.

Contoh 18.

Akan dilakukan pengecetan 4 rumah dengan 3 macam cat (putih, biru, kuning) di mana warna cat yang telah digunakan dapat dipilih kembali. Hitunglah permutasi susunan pengecetan 4 rumah dengan 3 macam warna cat.

Jawab

Bila warna yang tersedia dapat digunakan beberapa kali pada 4 rumah, maka sel dapat diisi masing-masing sebanyak 4 kemungkinan sehingga.

Jadi, banyaknya kemungkinan pengecetan rumah adalah 64 cara.

• Permutasi Atas Sebagian Obyek Dari Seluruh Obyek yang Tidak Dapat Dibedakan

Sejauh ini, permutasi yang telah dibicarakan adalah permutasi dengan obyek yang berbeda-beda atau tidak sama, misalkan permutasi tiga huruf a-b-c yang mempunyai 6 cara permutasi. Akan tetapi seandainya 2 huruf a dan b sama, misalkan x, maka ke-6 permutasi huruf-huruf menjadi xxc, xxc, xcx, xcx, cxx dan cxx sehingga hanya ada 3 susunan yang berbeda. Hal ini disebut sebagai permutasi dari  obyek yang tidak seluruhnya dapat dibedakan. Artinya jika terdapat suatu kelompok n obyek terdiri , maka permutasi dari kelompok n obyek tersebut menjadi:

Dengan

Contoh 19.

Enam orang pedagang terdiri dari 3 orang pedagang batik, 1 orang pedagang kaos dan 2 orang pedagang sandal jepit. Hitunglah permutasi apabila seluruh obyek dipermutasikan.

Jawab

Diketahui  dan jumlah pedagang n = 6 orang, sehingga banyaknya susunan yang berbeda adalah :

Contoh 20.

Berapa banyak susunan yang berbeda bila akan dibuat sebuah rangkaian lampu hias dari 4 lampu merah, 3 lampu kuning dan 2 lampu biru.

Jawab

Diketahui,  dan . Jumlah lampu adalah . Jadi banyaknya susunan yang berbeda adalah :

Contoh 21.

Sebanyak 11 mahasiswa melakukan penelitian di pedesaan dengan mengendarai 4 mobil. Kapasitas tempat duduk masing-masing kendaraan 3, 2, 2 dan 4 orang. Berapa kemungkinan mereka dapat terangkut dari keempat mobil tersebut.

Jawab

Diketahui,  dan . Jumlah tempat duduk . Jadi banyaknya kemungkinan susunan yang berbeda agar mereka dapat diangkut adalah:

Contoh 22.

Berapa banyak susunan permutasi dapat dibentuk dari huruf-huruf pembentuk kata “Bajaj Bajuri”.

Jawab

Kata “Bajaj Bajuri” terdiri dari 6 huruf yaitu . Jumlah huruf n = 11. Jadi banyaknya susunan yang berbeda adalah:

Contoh 23.

Ulangi untuk kata “Primus” yang dapat dibentuk.

Jawab

Kata “Primus” terdiri dari 6 huruf berbeda (tidak ada huruf yang sama). Jadi banyaknya susunan yang berbeda adalah:

Contoh 24

Berapa banyak susunan yang dapat dibuat dari kalimat “AKU SUKA KAMU”?

Jawab:

Semuanya ada  huruf, yang terdiri atas:

Jenis 1, huruf A, yang banyaknya adalah

Jenis 2, huruf K, yang banyaknya adalah

Jenis 3, huruf U, yang banyaknya adalah

Jenis 4, huruf S, yang banyaknya adalah

Jenis 5, huruf M, yang banyaknya adalah

Jadi, banyaknya permutasi yang dapat dibuat adalah:

• Permutasi Siklik

Banyaknya permutasi untuk n obyek atau elemen yang berbeda dalam suatu lingkaran disebut permutasi siklik. Dua permutasi siklik tidak dianggap berbeda kecuali bila ada obyek yang berpadanan dalam kedua susunana itu yang diawali atau diikuti dengan obyek yang berbeda sehingga bergerak searah jarum jam atau sebaliknya. Permutasi melingkar adalah suatu permutasi yang dibuat dengan menyusun anggota-anggota suatu himpunan secara melingkar. Dua permutasi melingkar dianggap sama bila didapatkan dua himpunan permutasi yang sama dengan cara beranjak dari suatu anggota tertentu dan bergerak searah jarum jam.

Untuk menghitung permutasi siklik ini, pada hakekatnya harus mengambil atau menentukan kedudukan salah satu obyek secara arbiter dan selanjutnya menghitung permutasinya. Permutasi dari n obyek yang membentuk sebuah siklik dinyatakan sebagai:

Contoh 24.

Terdapat 3 orang pemain halma A, B dan C. Hitunglah banyaknya permutasi siklik untuk susunan yang berbeda dalam permainan halma tersebut!

Jawab

Jumlah susunan yang berbeda  cara

Contoh 25.

Terdapat 4 orang pemain karambol A, B, C dan C, hitunglah banyaknya permutasi siklik untuk susunan yang berbeda dalam permainan karambol tersebut!

Jawab

Jumlah susunan yang berbeda . Susunan tersebut terdiri dari:

• Kombinasi

Dalam banyak kasus, kita sebenarnya ingin mengetahui banyaknya cara mengambil  elemen dari  elemen tanpa memperhatikan urutannya. Pengambilan demikian disebut kombinasi. Misalkan diambil 2 orang pedagang yang dipilih untuk wawancara dari 3 orang pedagang (A, B dan C). Dari kasus ini banyaknya permutasi adalah 6 cara yaitu AB, BA, AC, CA, BC dan CB. Akan tetapi, jika tujuan pengelompokan ini untuk wawancara penelitian, maka dari 6 cara permutasi di atas pada hakekatnya hanya ada 3 macam kombinasi yaitu AB, AC dan BC. Banyaknya kombinasi  elemen dari n elemen yang berbeda yang berkaitan dengan banyaknya permutasi tanpa memperhatikan urutan disebut kombinasi.

Dengan cara tersebut diperoleh definisi kombinasi, yaitu susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut disebut kombinasi yang ditulis C. Bila himpunan itu terdiri atas n anggota dan diambil sebanyak r, di mana  maka banyaknya susunan yang diperoleh dengan cara kombinasi adalah:

Kombinasi ditulis juga dengan cara  atau

Contoh 26.

Contoh 27

Bila dari {a, b, c, d} diambil 3 obyek, maka banyaknya permutasi dan kombinasi yang diperoleh ialah:

Tabel 7.2. Banyaknya Permutasi dan Kombinasi yang Diambil dari 3 Obyek

Banyaknya:

Jelas bahwa banyaknya susunan yang diperoleh dengan cara kombinasi jauh lebih sedikit dari cara permutasi.

Contoh 28

Ada 4 orang bernama A, B, C, dan D.

Bila dipilih 2 orang, ada berapa banyak pilihan yang diperoleh?

Jawab:

Contoh 29

Bila dalam suatu kelompok terdapat 4 kimiawan dan 3 fisikawan, buatlah panitia 3 orang yang terdiri atas 2 kimiawan dan 1 fisikawan!

Jawab:

Misalkan,        kimiawan =

                        fisikawan =

Banyaknya seluruh cara untuk membuat panitia tersebut adalah 6 x 3 = 18 jenis panitia.

Contoh 30.

Kantor Wilayah Departemen Kesehatan akan menempatkan 4 dokter baru dari 10 dokter baru yang menunggu penempatan. (a). Tentukan berapa kombinasi dokter yang dapat dibentuk. (b). Berapa kombinasi jika pengiriman dokter tidak lebih dari 4 orang.

Jawab

1. Kombinasi 4 orang dari 10 orang dokter.
2. Kombinasi pengiriman tidak lebih dari 4 dokter.

Tabel 7.3. Banyaknya Kombinasi setiap Pengiriman

Contoh 31.

Sembilan pelajar SMA berprestasi mengikuti test akhir untuk dikirim ke Praha dalam rangka Olimpiade Fisika 2005. Tentukan: (a). Berapa kombinasi jika hanya ada 3 pelajar saja yang dikirim, (b). Berapa kombinasi dari 3 pelajar jika 1 orang pelajar sudah ditentukan dari awal, (c). Berapa kombinasi bila pengiriman pelajar tidak lebih dari 3 orang.

Jawab

1. Banyaknya kombinasi 3 pelajar yang dipilih dari 9 pelajar SMA.
2. Banyaknya kombinasi dari 3 pelajar jika 1 orang pelajar sudah ditentukan dari awal. Kasus ini menjadi bentuk kombinasi 2 orang pelajar yang dipilih dari 8 pelajar.
3. Banyaknya kombinasi jika pengiriman tidak lebih dari 3 pelajar. Pada soal ini pengiriman pelajar mungkin hanya 1 orang atau hanya 2 orang atau hanya 3 orang.

Dijumlahkan masing-masing kombinasi . Jadi, banyaknya kombinasi pengiriman pelajar yang tidak lebih dari 3 orang adalah 129 macam.

Contoh 32.

Berapa macam kombinasi yang dapat dibuat bila pembentukan panitia seminar terdiri dari 4 pria dan 3 wanita dari 7 pria dan 6 wanita yang dicalonkan.

1. Panitia akan memilih 4 dari 7 orang pria dengan kombinasi
2. Panitia akan memilih 3 wanita dari 6 orang wanita dengan kombinasi

Jadi, banyaknya kombinasi yang membentuk panitia seminar adalah  kombinasi

Contoh 33.

Dari 5 orang anggota PDI-P dan 4 orang anggota PPP, hitunglah banyaknya komisi yang beranggotakan 5 orang yang terdiri dari 3 orang PDI-P dan 2 orang PPP.

1. Banyaknya cara memilih 3 orang dari 5 orang PDI-P adalah:
2. Banyaknya cara mimilih 2 orang dari 4 orang PPP adalah:

Jadi, banyaknya komisi yang dapat dibentuk, terdiri dari 3 orang PDI-P dan 2 orang PPP adalah  komisi.

Contoh 34.

Berapa macam kombinasi anggota koperasi yang terdiri dari 5 orang yang dapat dibentuk dari 8 pria dan 4 wanita jika paling sedikit koperasi beranggotakan 3 pria.

1. Koperasi beranggota 3 pria

Pemilihan 3 pria dari 8 pria adalah:

Pemilihan (5-3) = 2 wanita dari 4 orang wanita adalah:

Kombinasi yang dapat dibentuk terdiri dari 3 pria dan 2 orang wanita  kombinasi.

1. Koperasi yang beranggotakan 4 pria

Pemilihan 4 pria dari 8 orang pria adalah:

Pemilihan (5-4) = 1 wanita dari 4 wanita adalah :

Kombinasi 4 pria dan 1 wanita  kombinasi

1. Koperasi yang beranggotakan 5 pria

Pemilihan 5 pria dari 8 orang pria adalah:

Pemilihan (5-5) = 0 wanita dari 4 orang wanita adalah:

Kombinasi 5 pria dan 0 wanita  kombinasi

Jadi, kombinasi koperasi yang beranggotakan 5 orang dimana paling sedikit ada 3 pria adalah :

 kombinasi.

Rangkuman

Bilangan faktorial merupakan bilangan n bilangan bulat positif yang ditulis dengan n! Permutasi merupakan susunan atau rangkaian dengan memberi arti pada urutan letak anggota pada susunan tersebut. Suatu permutasi dari N objek yang bervariasi dan setiap kali r objek adalah susunan dari r objek tersebut tanpa memperhatikan urutan pengambilan. Permutasi siklis merupakan banyaknya permutasi untuk n obyek atau elemen yang berbeda dalam suatu lingkaran. Sedangkan kombinasi merupakan susunan-susunan yang dibentuk dari anggota-anggota suatu himpunan dengan mengambil seluruh atau sebagian dari anggota himpunan itu tanpa memberi arti pada urutan anggota dari masing-masing susunan tersebut.

Suatu kombinasi dari N objek yang bervariasi dan setiap kali diambil r objek adalah susunan r objek tersebut dengan memperhatikan urutan pengambilan. Dalam hal ini berlaku suatu sampel yang anggotanya diambil dari populasi dengan sifat bahwa setiap anggota populasi memiliki kesempatan yang sama untuk terambil menjadi anggota sampel. Rumus-rumus yang digunakan untuk menghitung permutasi dan kombinasi adalah sebagai berikut:

1. Perumusan bilangan faktorial:
2. Perumusan permutasi:
3. Perumusan permutasi atas sebagian dari seluruh obyek:
4. Perumusan permutasi dari obyek dengan pemulihan:

P_n-r  = n^r

5. Perumusan permutasi atas sebagian obyek dari seluruh obyek yang tidak dapat dibedakan:
6. Perumusan permutasi siklis:
7. Perumusan kombinasi:

Evaluasi Mandiri

1. Seorang anak perempuan mempunyai 3 bunga yang jenisnya berlainan. Berapa banyak cara berbeda yang dapat dibuat?
2. Dari kelompok ahli ada 5 orang sarjana ekonomi dan 7 sarjana hukum. Akan dibuat tim kerja yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana hukum. Berapa banyak cara untuk membuat tim itu, jika:
3. Tiap orang dapat dipilih dengan bebas;
4. Seorang sarjana hukum harus ikut dalam tim itu;
5. Dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu?
6. Lima kartu diambil secara acak dari sekelompok kartu bridge yang lengkap. Tentukanlah:
7. Probabilitas terambilnya 4 kartu as;
8. Probabilitas terambilnya 4 kartu as dan 1 kartu king;
9. Probabilitas terambilnya 3 kartu sepuluh dan 2 kartu jack;
10. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah probabilitas terpilihnya:
11. Bola merah   bola putih                           c.  bola biru
12. Tidak merah   merah atau putih
13. Ada berapa banyak cara 7 buku dapat disusun pada rak jika:
14. Sembarang susunan dimungkinkan;
15. 3 buku tertentu harus selalu berdiri berdampingan;
16. 2 buku tertentu harus menempati ujung-ujung?
17. Empat jenis buku matematika, 6 buku fisik, dan 2 buku kimia harus disusun di rak buku. Ada berapa banyak penyusunan yang berbeda-beda yang mungkin terjadi jika:
18. Buku-buku pada tiap jenis harus semuanya berdiri berkumpul;
19. Hanya buku matematika yang berdiri berkumpul?
20. Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda, dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 garis jika:
21. Semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok;
22. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih;
23. Seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih?
24. Ada satu kelompok yang terdiri atas 12 orang. Ada berapa banyak cara untuk membagi kelompok orang itu:
25. Bila kelompok itu dibagi menjadi dua kelompok yang terdiri atas 8 orang dan 4 orang;
26. Bila kelompok itu dibagi menjadi tiga kelompok yang terdiri atas 5, 4, dan 2 orang?
27. Suatu komisi yang terdiri atas 4 ahli politik dan 3 ahli ekonomi akan dibentuk yang harus dipilih dari 6 ahli politik dan 7 ahli ekonomi. Ada berapa banyak komisi yang dapat dibentuk jika:
28. Tanpa ada pembatasan apa-apa;
29. 3 ahli politik harus masuk di komisi itu;
30. Seorang ahli ekonomi tertentu dilarang masuk dalam komisi itu?
31. Perusahaan Garuda mempunyai suatu jenis kendaraan yang berisi 6 tempat duduk (3 menghadap ke muka dan 3 menghadap ke belakang).
32. Dengan berapa cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat duduk yang tersedia?
33. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang, ada berapa cara 6 karyawan itu menempati tempat duduk yang tersedia?
34. Dari 5 orang sarjana ekonomi dan 7 orang sarjana teknik, akan dibentuk suatu tim yang terdiri atas 2 sarjana ekonomi dan 3 sarjana teknik. Ada berapa banyak tim ini dapat dibuat jika:
35. Setiap sarjana ekonomi dan sarjana teknik boleh ikut dalam tim itu;
36. Seorang sarjana teknik tertentu harus masuk dalam tim;
37. Dua orang sarjana ekonomi tidak boleh ikut dalam tim itu.
38. Berapa macam susunan yang dapat dibuat bila kita menanam 5 pohon durian, 5 pohon karet dan 3 pohon pinus di sepanjang batas kebun bila kita tidak membedakan antara pohon-pohon yang sejenis.
39. Dalam kedokteran dikenal 4 golongan darah yaitu A, B, AB dan O. Selain itu tekanan darah dikelompokkan atas rendah, normal dan tinggi. Berdasarkan klasifikasi tersebut, berapa cara seorang pasien dapat dikelompokkan.
40. Seorang mahasiswa fisika harus mengambil masing-masing satu mata kuliah inti dan pilihan. Bila tersedia pilihan 5 mata kuliah inti dan 3 mata kuliah pilihan, berapa banyak ia dapat menyusun rencana studinya.
41. Ada 10 orang yang terdiri 6 laki-laki 4 perempuan antri di depan loket pembayaran rekening listrik. Berapa kemungkinan susunan antrian tersebut bila antriannya bebas tidak beraturan.

Dalam hidup ini, banyak orang tahu apa yang yang harus dilakukan,
tetapi hanya sedikit yang melakukan apa yang ia ketahui. Mengetahui
tidaklah cukup! Anda harus mengambil tindakan

Anthony Robbins