TEORI PELUANG KEJADIAN

BAB VI

TEORI PELUANG KEJADIAN

Awal mula kebiasaan ibarat benang yang tak terlihat, tetapi setiap kali kita mengulangi tindakan, kita menguatkan anyamannya, menambahkan ke dalamnya helai demi helai, sampai menjadi kabel besar dan mengikat kita dalam pikiran dan tindakan tanpa dapat ditarik kembali.

Orison Sweet Marden

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pemahaman konsep peluang, perumusan peluang, ruang sampel dan kejadian, peluang kejadian majemuk A  B dan A  B, peluang bersyarat (conditional probability), peluang gabungan (joint probability), peluang kejadian marginal (marginal probability) dan teorema Bayes.

• Pemahaman Konsep Peluang

Statistika merupakan alat dan metode analisis yang digunakan untuk mengevaluasi data yang pada akhirnya akan diperoleh suatu kesimpulan berdasarkan sampel yang ada. Dari semua alat analisis, konsep peluang merupakan salah satu alat analisis yang mempunyai peran sangat penting untuk memecahkan masalah dalam kehidupan sehari-hari mulai bidang ilmiah sampai pada masalah-masalah kecil, misalnya masuk kantor atau tidak. Banyak kejadian dalam kehidupan sehari-hari yang sulit diketahui dengan pasti, apalagi kejadian di masa yang akan datang, misalnya sebagai berikut: Apakah nanti malam akan datang hujan? Apakah Pesawat Garuda akan berangkat tepat waktu? Apakah besok akan ada demonstrasi massa di Jakarta? Begitu juga dalam percobaan statistika, kita tidak bisa mengetahui dengan pasti hasil-hasil yang akan muncul, misalnya: 1. Pada pelemparan sebuah uang logam, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul sisi muka atau sisi belakang dari uang logam itu. 2. Pada pelemparan sebuah dadu, kita tidak tahu dengan pasti hasilnya, apakah yang akan muncul muka dadu 1, 2, 3, 4, 5, atau 6; dan 3. Pada penarikan sebuah kartu bridge dalam kotak yang berisi 52 kartu, kita juga tidak tahu dengan pasti, apakah yang akan muncul kartu as, king, atau yang lain?

Meskipun kejadian-kejadian tersebut tidak pasti, tetapi kita bisa melihat fakta-fakta yang ada untuk menuju derajat kepastian atau derajat keyakinan bahwa sesuatu akan terjadi. Bila ada mendung dan langit semakin gelap, maka itu menjadi tanda-tanda bahwa hujan akan turun. Akan tetapi, bila sama sekali tidak ada mendung dan langit terang benderang tentu hujan tidak akan turun, kecuali hujan yang direkayasa dengan memakai teknologi. Jadi, bila ada mendung dan langit semakin gelap, maka ada derajat kepastian bahwa hujan akan turun. Demikian juga, bila suatu dadu dilemparkan dengan acak, tanpa rekayasa apa-apa, maka ada derajat kepastian bahwa muka 1 dari dadu itu akan muncul.

Pemikiran mengenai peluang diawali dari pertanyaan seorang bangsawan Perancis bernama Chevalier de Mere kepada Pascal (1623-1662). Chevalier de Mere adalah seorang penjudi. Ia ingin mengetahui bagaimana pola pembagian uang taruhan pada suatu perjudian jika permainannya terpaksa dihentikan sebelum selesai. Pertanyaan ini kemudian menjadi bahan diskusi melalui surat-menyurat antara Pascal dan Fermat (1601-1665). Berdasarkan surat-menyurat antara kedua pemikir inilah kemudian muncul dasar-dasar teori peluang. Walaupun dasar-dasar peluang awalnya muncul untuk menjelaskan masaalah-masalah dalam perjudian, namun dalam perkembangannya konsep peluang dapat diterapkan pada berbagai masalah, baik masalah sosial, teknik, kesehatan, biologi, industri, transportasi, manajemen, akuntansi, pendidikan, dan lain-lain (Algifari, 2010).

Peluang merupakan besarnya kesempatan (kemungkinan) suatu peristiwa akan terjadi. Berdasarkan pengertian peluang tersebut terdapat beberapa hal yang penting, yaitu besarnya kesempatan dan peristiwa akan terjadi. Besarnya kesempatan dari suatu peristiwa akan terjadi antara 0 (nol) sampai dengan 1 (satu). Jika suatu peristiwa memiliki kesempatan akan terjadi adalah 0, berarti peristiwa tersebut pasti tidak akan terjadi. Namun jika suatu peristiwa memiliki kesempatan akan terjadi adalah 1, berarti peristiwa tersebut pasti akan terjadi. Dengan demikian dapat disimpulkan bahwa semakin kecil peluang suatu peristiwa (peluangnya semakin mendekati 0) berarti semakin kecil kesempatan (kemungkinan) peristiwa tersebut akan terjadi. Sebaliknya besar peluang suatu peristiwa (peluangnya semakin mendekati 1) berarti semakin besar kesempatan (kemungkinan) peristiwa tersebut akan terjadi (Supardi, 2012).

Besarnya kesempatan ini dapat ditulis dalam bentuk bilangan desimal, pecahan, dan dalam bentuk persen. Misalnya untuk menyatakan peluang suatu peristiwa adalah 0,25. Besarnya peluang untuk peristiwa ini dapat ditulis dengan bilangan ¼ atau 25%.  Dengan demikian kita dapat menentukan peluang terjadinya hujan, peluang munculnya muka 1 pada percobaan pelemparan sebuah dadu, peluang munculnya kartu as pada penarikan kartu dari sekelompok kartu bridge, dan seterusnya. Kita berhenti sejenak untuk merenungkan uraian-uraian di atas. Konsep peluang lahir dari suatu permainan seperti pelemparan uang logam, pelemparan dadu, penarikan kartu, dan sebagainya. Ekses dari permainan ini memunculkan berbagai bentuk perjudian. Akan tetapi, para ilmuwan bekerja dengan cara ilmiah, di mana obyek dari permainan ini dijadikan sebagai pengamatan sehingga diperoleh fakta-fakta (empiris) kemudian diabstraksikan ke dalam konsep, kemudian dilakukan pengujian-pengujian sehingga lahirlah konsep peluang.

• Perumusan Peluang

Perumusan konsep dasar peluang dilakukan dengan tiga cara, yaitu dengan cara klasik, cara frekuensi relatif, dan pendekatan subyektif. Bila kejadian-kejadian pada contoh di atas kita lambangkan dengan huruf besar E, maka kita dapat merumuskan peluang kejadian E, yaitu .

• Perumusan Klasik

Bila kejadian  terjadi dalam  cara dari seluruh  cara yang mungkin terjadi dan masing-masing  cara itu mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul, maka peluang kejadian  yang ditulis  dirumuskan sebagai berikut:

Contoh 1.

Sebuah uang logam dilemparkan. Misalkan sisi pertama kita sebut muka = m, dan sisi kedua kita sebut belakang = b. Maka ada dua kejadian yang mungkin, yaitu kejadian munculnya muka m kita sebut  atau kejadian munculnya belakang b kita sebut . Oleh karena sisi uang logam terdiri atas dua sisi  dan kedua sisi itu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul, maka peluang munculnya kejadian  atau  adalah:

Ingat bahwa dalam pelemparan uang logam tersebut yang akan muncul salah satu dari  atau . Jadi, bila yang muncul , maka  tidak muncul, dan bila yang muncul , maka yang tidak muncul adalah . Jadi, kita mempunyai kejadian munculnya  sekaligus kejadian tidak munculnya .

Contoh 2.

Sebuah dadu dilemparkan. Muka dadu ada 6, yaitu: 1, 2, 3, 4, 5, 6. Semua muka dadu mempunyai kesempatan yang sama untuk muncul. Yang akan muncul salah satu dari muka-muka dadu itu , yaitu muka 1, muka 2, muka 3, muka 4, muka 5, atau muka 6. Kita misalkan:

 bila muncul muka 1

 bila muncul muka 2

 bila muncul muka 3, dan seterusnya.

Maka peluang kejadian E adalah:

Contoh 3.

Hitunglah peluang memperoleh kartu hati bila sebuah kartu diambil secara acak dari seperangkat kartu bridge yang lengkap.

Jawab:

Jumlah seluruh kartu   :          

Jumlah kartu hati        :          

Misalkan  kejadian munculnya kartu hati. Semua kartu hati mempunyai kemungkinan yang sama untuk muncul, maka:    

Contoh 4.

Hitunglah peluang diperolehnya bola merah bila sebuah bola diambil dari suatu kotak yang berisi 10 bola merah dan 10 bola putih!

Jawab:

Jumlah bola seluruhnya         

Jumlah bola merah                 

Misalkan  kejadian diperoleh bola merah.

Maka diperoleh peluang  adalah:

• Perumusan dengan Frekuensi Relatif

Perumusan konsep peluang dengan cara klasik mempunyai kelemahan karena menuntut syarat semua hasil mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul. Pengertian ini mengaburkan adanya peluang yang sama. Sehubungan dengan itu dikembangkan konsep peluang berdasarkan statistik, yaitu dengan pendekatan empiris. Peluang empiris dari suatu kejadian dirumuskan dengan memakai frekuensi relatif dari terjadinya suatu kejadian dengan syarat banyaknya pengamatan atau banyaknya sampel n adalah sangat besar. Bila n bertambah besar sampai tak terhingga , maka peluang dari kejadian  adalah sama dengan nilai limit dari frekuensi relatif dari kejadian  tersebut. Dengan demikian, jika kejadian E terjadi sebanyak f kali dari keseluruhan pengamatan sebanyak n, di mana n mendekati tak berhingga , maka peluang kejadian E dirumuskan sebagai:

Walaupun mudah dan berguna dalam praktek, tetapi secara matematis perumusan konsep peluang dengan frekuensi relatif ini juga mempunyai kelemahan, karena suatu nilai limit yang benar-benar mungkin sebenarnya tidak ada. Oleh karena itu, konsep peluang modern dikembangkan dengan memakai pendekatan aksiomatis, yaitu suatu kebenaran yang diterima secara apa adanya tanpa memerlukan bukti matematis, di mana konsep peluang tidak didefinisikan, seperti konsep titik dan konsep garis yang tidak didefinisikan dalam ilmu geometri (Boediono, 2006).

Contoh 5

Pada suatu percobaan statistik, yaitu pelemparan sebuah dadu yang diulang sebanyak  kali, frekuensi munculnya muka dadu  adalah seperti pada tabel 1.1 berikut ini.

Tabel 6.1. Frekuensi Munculnya Muka Dadu

Bila  menyatakan kejadian munculnya muka-muka dadu tersebut, maka  atau , sehingga peluang kejadian  untuk masing-masing kemungkinan munculnya muka dadu tersebut adalah:

Contoh 6.

Dari 100 mahasiswa yang mengikuti ujian statistika, distribusi frekuensi nilai mahasiswa adalah seperti pada Tabel 1.2 berikut ini.

Tabel 6.2. Distribusi Nilai Mahasiswa

Maka peluang kejadian  mahasiswa memperoleh nilai tersebut adalah:

• Pendekatan Subyektif

Pendekatan subyektif yang digunakan untuk menentukan peluang suatu peristiwa didasarkan pada selera dan keyakinan individu seseorang. Misalnya saya ingin menentukan peluang harga dolar Amerika besok akan naik adalah 0,75. Dapat dikatakan kemungkinan dolar Amerika besok akan naik adalah 75%. Atas dasar apa saya menentukan peluang harga dolar akan naik adalah 75%? Pengetahuan ini hanya didasarkan pada pengetahuan, pengalaman, dan keahlian yang dimiliki. Dengan demikian peluang suatu peristiwa ditentukan dengan pendekatan subyektif menyebabkan penentuan peluang suatu peristiwa antara orang yang satu dengan orang yang lain dapat berbeda. Hal ini disebabkan oleh tingkat pengetahuan, penguasaan informasi, naluri, dan faktor-faktor lain yang berkaitan dengan peristiwa itu berbeda antara orang satu dengan orang lainnya.

• Ruang Sampel dan Kejadian

Pada pelemparan sebuah uang logam, semuanya ada dua hasil yang mungkin muncul, yaitu muka  atau belakang . Dua hasil yang mungkin muncul ini dapat dihimpun menjadi . Begitu juga pada pelemparan sebuah dadu, semuanya ada 6 hasil yang  mungkin muncul, yaitu muka 1, 2, 3, 4, 5, atau 6. Seluruh hasil yang mungkin muncul ini dapat ditulis dalam suatu himpunan . Dengan demikian dapat dikatakan bahwa, kumpulan (himpunan) dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik disebut ruang sampel yang dilambangkan dengan himpunan S, sedangkan anggota-anggota dari S disebut titik sampel.

Selanjutnya, bila pada pelemparan sebuah uang logam, yang muncul adalah muka , hasil yang muncul ini kita namakan kejadian munculnya , yang dapat dinyatakan dalam suatu himpunan . Demikian halnya, bila pada pelemparan sebuah dadu tersebut yang muncul adalah muka 2, hasil yang muncul ini dinamakan kejadian munculnya muka 2, yang dapat dinyatakan dalam suatu himpunan . Akan tetapi, bila yang muncul muka 3 dari dadu itu, maka . Tentu saja yang muncul cuma satu muka, sehingga himpunan A akan terdiri atas satu anggota. Dapat dikatakan bahwa, kumpulan (kesimpulan) dari hasil yang muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik disebut kejadian atau peristiwa (event) yang dilambangkan dengan himpunan A. begitu juga anggota-anggota dari A disebut titik sampel.

            Perhatikan bahwa pada pelemparan sebuah uang logam tersebut,  dan  sehingga  merupakan himpunan bagian dari S. Begitu juga pada pelemparan sebuah dadu,  dan , sehingga . Pada , anggota dari A adalah titik sampel. Begitu juga  disebut titik sampel. Hubungan antara kejadian A dengan ruang sampel S digambarkan sebagai berikut.

Gambar 6.1. Hubungan antara Kejadian A dengan Ruang Sampel S

Ada suatu keterkaitan antara kejadian A dan ruang sampel S pada konsep peluang dengan himpunan bagian A dan himpunan semesta S pada teori himpunan, yaitu sebagai berikut.

            Berdasarkan kejadian A dan ruang sampel S tersebut, maka perumusan konsep peluang didefinisikan sebagai: Bila kejadian A terjadi dalam  cara pada ruang sampel S yang terjadi dalam  cara, maka peluang kejadian A adalah:

Di mana  banyaknya anggota A dan banyaknya anggota S

            Perhatikan bahwa pada definisi peluang tersebut tidak menuntut syarat bahwa semua titik sampel mempunyai kesempatan atau kemungkinan yang sama untuk muncul. Definisi peluang kejadian ini terlepas dari definisi peluang yang dirumuskan secara klasik maupun yang dirumuskan dengan memakai frekuensi relatif. Definisi peluang tersebut lebih umum daripada definisi peluang klasik di rumus frekuensi relatif. Dengan menggunakan rumus (3), maka kita dapat menentukan peluang dari sembarang kejadian A yang didefinisikan pada S.

Contoh 7.

Pada pelemparan sebuah dadu, misalkan kejadian A menyatakan munculnya muka dadu genap pada S, maka , sehingga peluang kejadian A adalah:

Contoh 8.

Pada pelemparan dua buah uang logam.

1. Tentukanlah ruang sampel
2. Bila menyatakan kejadian munculnya sisi yang sama dari dua uang logam tersebut, tentukanlah peluang kejadian

Jawab:

Misalkan  muka dan  belakang adalah sisi-sisi dari dua uang logam tersebut.

6. Hasil-hasil yang mungkin muncul ditunjukkan pada tabel 6.3 berikut ini.

Tabel 6.3. Peluang yang Mungkin Muncul

Jadi, ruang sampel S adalah

Titik sampel (m, m) menyatakan munculnya sisi muka dari uang logam pertama dan kedua. Titik sampel (b, b) menyatakan munculnya sisi belakang dari uang logam pertama dan kedua. Titik sampel (m, b) menyatakan munculnya muka dari uang logam pertama dan munculnya belakang dari uang logam kedua. Sedangkan titik sampel (b,m) menyatakan munculnya belakang dari uang logam pertama dan munculnya muka dari uang logam kedua.

1. A adalah kejadian munculnya sisi-sisi yang sama dari dua uang logam, maka . Dengan demikian dan , sehingga peluang kejadian A adalah:

Contoh 9

Pada pelemparan dua buah dadu.

1. Tentukanlah ruang sampel
2. Bila menyatakan kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama, tentukanlah
3. Bila menyatakan kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5, tentukanlah

Jawab:

Hasil-hasil yang mungkin muncul dari dua dadu tersebut ditunjukkan pada tabel 6.4 berikut.

Tabel 6.4. Hasil-hasil yang Mungkin Muncul dari Pelemparan Dua Dadu.

1. Ruang Sampel

Banyaknya anggota S adalah

1. kejadian munculnya dua dadu dengan muka sama

Banyaknya anggota A adalah

1. kejadian munculnya jumlah muka dua dadu kurang dari 5
   • Peluang Kejadian Majemuk A B dan A  B

Dengan mengingat kembali pengetahuan mengenai teori himpunan bahwa bila A dan B dua himpunan dalam himpunan semesta S, maka gabungan (union) dari A dan B adalah himpunan baru yang anggotanya terdiri atas anggota A atau anggota B atau anggota keduanya yang ditulis:  

 .

Diagram Venn untuk himpunan tersebut ditunjukkan oleh gambar 6.2 berikut ini. Sedangkan gambar 6.3 menunjukkan diagram venn untuk .

Gambar 6.2. Gabungan Antara A dan B                  Gambar 6.3. Irisan Antara A dan B

Banyaknya anggota himpunan  adalah:

Sejalan dengan himpunan gabungan tersebut, karena ada keterkaitan antara teori himpunan dengan teori peluang, maka kita dapat merumuskan kejadian gabungan A dan B, yaitu kejadian  pada ruang sampel S. Bila A dan B kejadian sembarang pada ruang sampel S, maka gabungan kejadian A dan B ditulis  adalah kumpulan semua titik sampel yang ada pada A atau B atau pada kedua-duanya. Kejadian  disebut kejadian majemuk. Demikian halnya, kejadian , yaitu kumpulan titik sampel yang ada pada A dan B juga disebut kejadian majemuk. Peluang kejadian  dirumuskan sebagai berikut:

Penjelasan lahirnya rumus tersebut adalah sebagai berikut.

Kita telah tahu bahwa:

Bila dua ruas persamaan dibagi dengan , maka diperoleh:

Sehingga diperoleh:

Contoh 10.

Kita ambil satu kartu secara acak dari satu set kartu bridge yang lengkap. Bila  kejadian terpilihnya kartu as dan  kejadian terpilihnya kartu wajik, hitunglah

Jawab:

Contoh 11

Peluang seorang mahasiswa lulus Kalkulus adalah dan peluang ia lulus Bahasa Inggris adalah . Bila peluang lulus sekurang-kurangnya satu mata kuliah di atas adalah , berapa peluang ia lulus kedua mata kuliah itu?

Jawab:

Misalkan         A = kejadian lulus Kalkulus              B = kejadian lulus Bahasa Inggris

            Peluang kejadian majemuk  sebagaimana rumus tersebut masih dapat dikembangkan lebih lanjut menjadi peluang kejadian majemuk yang terdiri atas tiga kejadian A, B, dan C yang ditulis dengan . Gambar dari kejadian tersebut adalah sebagai berikut.

Gambar 6.4. Diagram Venn Peluang Kejadian Majemuk Tiga Kejadian

Peluang kejadian majemuk  dirumuskan sebagai berikut.

• Dua Kejadian Saling Lepas

Dalam menentukan peluang menggunakan aturan matematis penjumlahan dan pengurangan, perlu diketahui sifat dua atau lebih peristiwa. Sifat dua atau lebih peristiwa tersebut adalah saling meniadakan (mutually exclusive) dan tidak saling meniadakan (non-mutually exclusive). Bila A dan B dua kejadian sembarang pada S dan berlaku , maka A dan B dikatakan dua kejadian saling lepas atau saling bertentangan atau saling terpisah . Gambar dari dua kejadian saling lepas ditunjukkan pada gambar 6.5 berikut ini. Dua kejadian A dan B saling lepas artinya kejadian A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan.

Gambar 6.5. Diagram Venn Dua Kejadian Saling Lepas antara A dan B

Pada gambar 6.5 terlihat bahwa lingkaran A menunjukkan peristiwa A dan lingkaran B menunjukkan peristiwa B. Peristiwa A dan B saling meniadakan, sehingga lingkaran A dan lingkaran B tidak saling berpotongan. Hal ini menunjukkan bahwa peristiwa A dan peristiwa B tidak dapat terjadi secara bersamaan. Bila A dan B dua kejadian saling lepas, maka , sehingga peluang kejadian  dirumuskan sebagai berikut.

Contoh 12

Bila A dan B dua kejadian saling lepas, dengan  dan , tentukanlah

Jawab:

Karena A dan B saling lepas, maka berlaku:

Contoh 13

Pada pelemparan dua buah dadu, tentukanlah peluang munculnya muka dua dadu dengan jumlah 7 atau 11!

Jawab:

Misalkan         A = kejadian munculnya jumlah 7         B = kejadian munculnya jumlah 11

Perhatikan Tabel 1.4 pada jawaban Contoh 9.

Diperoleh        A =

                        B =

Maka , berarti A dan B saling lepas.

Dengan demikian dapat kita kembangkan rumus peluang tiga kejadian A, B, dan C yang saling lepas, yaitu:

Secara umum, bila  adalah kejadian-kejadian yang saling lepas, maka berlaku rumus peluang seperti berikut ini.

• Dua Kejadian Saling Bebas

Sifat dua atau lebih peristiwa dari suatu percobaan dapat independen dan dapat pula dependen. Dua atau lebih peristiwa dikatakan bersifat independen jika terjadinya suatu peristiwa tidak mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Sebaliknya, dua atau lebih peristiwa dikatakan bersifat dependen jika terjadinya suatu peristiwa akan mempengaruhi terjadinya peristiwa yang lain. Dapat dikatakan bahwa, dua kejadian A dan B dalam ruang sampel S dikatakan saling bebas jika kejadian A tidak mempengaruhi kejadian B dan sebaliknya kejadian B tidak mempengaruhi kejadian A (Wibisono, 2007). Jika A dan B merupakan dua kejadian saling bebas, maka berlaku rumus berikut.

 : peluang A dan B. Sebaliknya bila berlaku rumus itu maka dikatakan A dan B dua kejadian saling bebas.

Contoh 14

Jika diketahui dua kejadian A dan B saling bebas dengan  dan  maka berlaku:

Contoh 15

Pada pelemparan dua buah dadu, apakah kejadian munculnya muka  dadu  dan kejadian munculnya muka  dadu  saling bebas?

Jawab:

Pandanglah kembali Tabel 4 pada jawaban Contoh 19.

          =  kejadian munculnya muka  dadu

          =  kejadian munculnya muka  dadu

          = 

          = 

Maka diperoleh:

Akan tetapi, berlaku juga  sehingga A dan B saling bebas.

            Konsep dua kejadian saling bebas di atas, dapat dikembangkan untuk tiga kejadian saling bebas antara A, B, dan C. Jika A, B, dan C adalah tiga kejadian saling bebas, maka berlaku rumus peluang , yaitu sebagai berikut.

Secara umum, bila  adalah kejadian-kejadian saling bebas, maka berlaku:

Contoh 16

Pada pelemparan tiga uang logam, tunjukkanlah bahwa munculnya muka dari tiga uang logam saling bebas!

Jawab:

Bila tiga uang logam dilemparkan, maka ruang sampelnya adalah:

Misalkan,

A = kejadian muncul muka uang logam 1

B = kejadian muncul muka uang logam 2

C = kejadian muncul muka uang logam 3

Maka diperoleh:

Akan tetapi, juga berlaku:

Jadi, A, B, dan C adalah tiga kejadian yang saling bebas.

• Peluang Bersyarat (Conditional Probability)

Peluang bersyarat menunjukkan besarnya kesempatan suatu peristiwa akan terjadi yang didahului oleh peristiwa lain yang dependen terhadap peristiwa tersebut. Dalam peluang, suatu kejadian A terjadi dengan syarat kejadian B lebih dulu terjadi atau akan terjadi atau diketahui terjadi dikatakan kejadian A bersyarat B yang ditulis A/B. Hati-hati dalam hal ini penulisan A/B tidak berarti A dibagi B.

Peluang terjadinya kejadian A bila kejadian B telah terjadi disebut peluang bersyarat yang ditulis  yang artinya adalah peluang peristiwa A akan terjadi dengan syarat peristiwa B terjadi terlebih dahulu dan dirumuskan sebagai berikut:

Contoh 17

Misalkan sebuah dadu dilemparkan;  kejadian munculnya bilangan kuadrat murni, dan diketahui bahwa peluang munculnya bilangan ganjil  dan peluang munculnya bilangan genap . Bila diketahui  telah terjadi, tentukanlah

Jawab:

Contoh 18

Misalkan diberikan populasi sarjana di suatu kota yang dibagi menurut jenis kelamin dan status pekerjaan sebagai berikut.

Misalkan diambil seorang dari mereka untuk ditugaskan melakukan promosi barang di suatu kota tersebut. Bila ternyata yang terpilih adalah dalam status telah bekerja, berapakah peluangnya bahwa dia:

• Laki-laki (b)   wanita

Jawab:

Misalkan         A =  kejadian terpilihnya sarjana telah bekerja

                        B =  kejadian bahwa dia laki-laki

  kejadian bahwa dia wanita

Dengan cara yang sama seperti itu maka diperoleh

Peluang bersyarat adalah peluang peristiwa kedua akan terjadi apabila peristiwa pertama terjadi. Untuk peristiwa yang independen, peluang terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu adalah sama dengan peluang akan terjadinya peristiwa B. Bila A dan B dua kejadian dalam ruang sampel S yang saling bebas, dengan  dan , maka berlaku:

Penjelasannya diuraikan sebagai berikut.

Akan tetapi, karena A dan B saling bebas, maka berlaku  sehingga diperoleh:

Dengan cara yang sama dapat ditunjukkan rumus kedua.

Pandanglah kembali peluang bersyarat berikut.

Rumus itu dapat dinyatakan dalam bentuk:

Bila kita mempunyai tiga kejadian A, B, dan C, maka rumus 1.14 dapat dikembangkan untuk menentukan peluang kejadian majemuk , yaitu:

Contoh 19

Misalkan kita mengambil tiga kartu, diambil tiga kali, pada sekelompok kartu bridge yang lengkap. Setiap kali mengambil, kartu yang terpilih tidak dikembalikan pada kelompok kartu itu. Ini dikatakan pengambilan kartu tanpa pengembalian. Tentukanlah peluang untuk memperoleh tiga kartu as.

Jawab:

            = kumpulan semua kartu dengan

            = terpilih kartu as pada pengambilan pertama

        = terpilih kartu as pada pengambilan kedua dengan syarat pada pengambilan

 pertama pengambilan pertama terpilih kartu as.

 terpilih kartu as pada pengambilan ketiga dengan syarat pada pengambilan

                 pertama dan kedua terpilih kartu as.

Oleh karena pada setiap pengambilan kartu yang terpilih tidak dikembalikan, maka jumlah kartu terus berkurang masing-masing 1 kartu, setelah pengambilan pertama, kedua, dan ketiga. Kejadian terpilihnya tiga kartu as ditunjukkan oleh kejadian . Oleh karena itu, kita akan menentukan . Pada pengambilan pertama, masih ada 4 kartu as, maka  dan  sehingga . Pada pengambilan kedua, kartu as tinggal 3, maka  dan , sehingga . Pengambilan ketiga, kartu as tinggal 2, jumlah kartu menjadi 50, maka  dan , sehingga

Perhatikan bahwa bila pada rumus 1.15, kejadian A diganti dengan C, kejadian  diganti dengan , dan kejadian  diganti dengan , maka rumus (21) dapat dinyatakan sebagai:

• Peluang Gabungan (Joint Probability)

Perumusan yang digunakan untuk menentukan peluang terjadinya peristiwa B dengan syarat peristiwa A lebih dahulu terjadi adalah :

Perumusan peluang gabungan pada peristiwa yang dependen secara statistik dapat diperoleh dengan mengalikan silang perumusan peluang bersyarat, sehingga menjadi:

 : peluang akan terjadi peristiwa A dan peristiwa B secara bersamaan.

  : peluang peristiwa B terjadi dengan syarat peristiwa A terjadi terlebih dahulu.

P (A)      : peluang terjadinya peristiwa A

Untuk menentukan peluang terjadinya peristiwa A dan B juga dapat menggunakan rumus :

Perlu diingat bahwa apabila peristiwa A dan peristiwa B adalah independen satu sama lain, maka peluang terjadi peristiwa B dan peristiwa A adalah:  P(B). P(A) karena pada peristiwa yang independen, = P(B).

Contoh 20

Pada saat diterima barang dari penyalur, biasanya pembeli memeriksa barang-barang tersebut. Dari 100 barang yang diterima ternyata 10 barang yang rusak. Apabila diambil dua barang secara random dari 100 barang yang datang, berapa peluang bahwa kedua barang yang diambil tersebut adalah rusak (pengambilan dilakukan tanpa pengembalian).

Jawab:

Misalnya A adalah peristiwa terambil barang yang rusak pada pengambilan pertama dan B adalah peristiwa terambil pengambilan kedua.

P(A) = 10/100  maka  = 9/99

Karena pengambilan dilakukan tanpa pengembalian (without replacement). Peluang terambil keduanya rusak adalah:

 = 9/99 x 10/100 = 1/110

• Peluang Kejadian Marginal (Marginal Probability) dan Teorema Bayes

Peluang marginal suatu peristiwa dapat diperoleh dari peluang gabungan. Misalkan dan    tiga kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B adalah kejadian sembarang lainnya dalam S. Gambar 1.6 berikut ini menunjukkan kejadian-kejadian tersebut dalam S.

Gambar 6.6. Diagram Venn Peluang Marginal Suatu Kejadian

Pada gambar 6.6 tampak bahwa kejadian B dapat dinyatakan sebagai:

Akan tetapi, kejadian , dan  adalah saling lepas, sehingga peluang kejadian B menjadi:

Sedangkan  dan , sehingga  menjadi sebagai berikut.

Rumus tersebut disebut rumus peluang marginal kejadian B.

Kita dapat menentukan peluang kejadian bersyarat  dan  yaitu sebagai berikut.

Peluang bersyarat memperhitungkan informasi yang diperoleh dari suatu peristiwa untuk memperkirakan peluang peristiwa yang lain. Konsep ini dapat dikembangkan untuk merevisi peluang berdasarkan atas informasi yang baru dan untuk menentukan peluang sebagai akibat dari suatu pengaruh tertentu. Prosedur untuk merevisi peluang ini dikenal dengan teorema Bayes (Bayes’Theorem). Secara umum, bila  kejadian saling lepas dalam ruang sampel S dan B kejadian lain yang sembarang dalam S, maka peluang kejadian bersyarat  dirumuskan sebagai berikut.

Contoh 21

Misalkan ada tiga kotak masing-masing berisi 2 bola. Kotak 1 berisi 2 bola merah, kotak 2 berisi 1 bola merah dan 1 bola putih, dan kotak 3 berisi 2 bola putih. Dengan mata tertutup Anda diminta mengambil satu kotak secara acak dan kemudian mengambil 1 bola secara acak dari kotak yang terambil itu. Anda diberitahu bahwa bola yang terambil ternyata berwarna merah. Berapakah peluangnya bola tersebut terambil dari kotak 1, kotak 2, dan kotak 3?

Jawab:

            Kotak 1                       Kotak 2                       Kotak 3

Misalkan,          kejadian terambilnya kotak 1

                         kejadian terambilnya kotak 2

                         kejadian terambilnya kotak 3

                         kejadian terambilnya bola merah

Yang ditanya:  dan

Karena pengambilan secara acak, maka

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 1 adalah , sebab kotak 1 hanya berisi 2 bola merah. Peluang terambilnya bola merah dari kotak dua  sebab hanya ada 1 bola merah dari 2 bola yang ada.

Peluang terambilnya bola merah dari kotak 3 adalah  sebab kotak 3 tidak terisi bola merah. Maka diperoleh:

Contoh 22

Ada 10 perusahaan yang menawarkan mesin pabrik anti polusi kepada seorang pemilik pabrik. Tanpa memperhatikan isi usulan tawaran, pemilik pabrik akan memilih 3 secara acak masing-masing perusahaan yang mempunyai peluang yang sama untuk dipilih. Kalau Toni mempunyai saham dalam 4 perusahaan, berapakah peluang bahwa 2 perusahaan yang terpilih tersebut adalah perusahaan-perusahaan di mana Toni mempunyai saham.

Jawab:

Toni punya saham di 4 perusahaan, maka tidak punya saham di 6 perusahaan. Dipilih 3 perusahaan yang terdiri atas 2 perusahaan di mana Toni punya saham di perusahaan tersebut dan 1 perusahaan lagi Toni tidak punya saham di perusahaan tersebut.

Misalnya,

Maka diperoleh:

Peluang terpilihnya 2 perusahaan ada saham Toni dan 1 perusahaan tidak ada saham Toni adalah:

Rangkuman

Peluang merupakan besarnya kesempatan atau kemungkinan suatu peristiwa akan terjadi dari suatu percobaan. Ruang sampel merupakan kumpulan atau himpunan dari semua hasil yang mungkin muncul atau terjadi pada suatu percobaan statistik. Titik contoh adalah elemen-elemen atau anggota-anggota atau unsur-unsur dari ruang sampel. Kejadian atau peristiwa merupakan himpunan bagian dari ruang sampel atau bagian dari hasil percobaan yang diinginkan. Mutually exclusive adalah dua kejadian A dan B tidak mungkin terjadi secara bersamaan apabila dilakukan percobaan yang menghasilkan ruang sampel tersebut. Peluang bersyarat menunjukkan besarnya kesempatan suatu peristiwa akan terjadi yang didahului oleh peristiwa lain  yang dependen terhadap peristiwa tersebut. Rumus-rumus yang digunakan dalam menghitung peluang adalah :

1. Perumusan peluang secara klasik:
2. Perumusan peluang dengan frekuensi relatif :
3. Peluang kejadian majemuk A B dan A  B :
4. Peluang kejadian majemuk dan :

5. Perumusan dua kejadian saling lepas:
6. Perumusan dua kejadian saling bebas:
7. Perumusan peluang bersyarat:

Evaluasi Mandiri

1. Sebuah kotak berisi 8 bola merah, 7 bola putih, dan 5 bola biru. Jika diambil 1 bola secara acak, tentukanlah peluang terpilihnya:
2. Bola merah   bola putih                           c.  bola biru
3. Tidak merah   merah atau putih
4. Peluang bahwa seorang pria akan hidup selama 25 tahun adalah dan peluang bahwa istrinya akan hidup selama 25 tahun adalah . Tentukanlah peluang bahwa:
5. Keduanya akan hidup selama 25 tahun;
6. Hanya pria itu yang hidup selama 25 tahun;
7. Hanya istri yang hidup selama 25 tahun;
8. Paling sedikit salah satu dari mereka (suami/istri) yang hidup selama 25 tahun!
9. Tiga wanita dipilih secara acak untuk ditanya apakah mereka mencuci pakaian dengan detergen.
10. Tulislah anggota ruang sampel S dengan memakai huruf ya dan  tidak
11. Tulislah anggota kejadian dalam  yang menyatakan bahwa paling sedikit dua wanita memakai detergen.
12. Hitunglah
13. Peluang suatu penerbangan regular berangkat tepat pada waktunya adalah P(D), peluang penerbangan itu mendarat tepat pada waktunya adalah , dan peluang penerbangan itu berangkat dan mendarat pada waktunya adalah .

Hitunglah peluang dalam suatu pesawat pada penerbangan itu:

1. Mendarat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat tersebut berangkat tepat waktu;
2. Berangkat tepat waktu bila diketahui bahwa pesawat tersebut mendarat tepat waktu!
3. Misalkan kita mempunyai sebuah kotak berisi 20 sekering, dan 5 diantaranya rusak. Bila dua sekering diambil secara acak (satu-satu) tanpa pengembalian, berapa peluang sekering yang terambil itu keduanya rusak?
4. Dari 10 orang staf bagian pemasaran PT. Rumah Elok, diketahui:

• Sarjana teknik pria 1 orang
• Sarjana teknik wanita 3 orang
• Sarjana ekonomi pria 2 orang
• Sarjana ekonomi wanita 4 orang

Dari 20 staf tersebut dipilih secara acak 1 orang untuk menjadi manajer pemasaran.

1. Berapa cara yang dapat dibentuk, jika diinginkan bahwa manajer harus sarjana teknik?
2. Berapa peluang A, jika A menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang wanita?
3. Berapa peluang B, jika B menyatakan kejadian bahwa manajer adalah seorang sarjana teknik?
4. Hitunglah dan
5. Ada 3 kotak, yaitu 1, 2, dan 3 yang masing-masing berisi bola merah dan putih sebagai berikut.

Mula-mula satu kotak dipilih secara acak, kemudian dari kotak yang terpilih diambil satu bola juga secara acak. Tiap kotak mempunyai kesempatan yang sama untuk terpilih.

1. Berapa peluang bahwa bola itu merah?
2. Berapa peluang bahwa bola itu putih?
3. Bola terpilih merah, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 1?
4. Bola terpilih putih, berapa peluang bahwa bola tersebut dari kotak 2?
5. Ada berapa banyak cara untuk 3 pria, 5 wanita, 4 pemuda, dan 4 gadis dapat dipilih dari 7 pria, 9 wanita, 5 pemuda, dan 5 garis jika:
6. Semua orang bebas dipilih pada masing-masing kelompok;
7. Seorang pria dan wanita tertentu harus terpilih;
8. Seorang pria, 1 orang wanita, 1 orang pemuda, dan 1 orang gadis tidak boleh dipilih?
9. Suatu komisi yang terdiri atas 4 ahli politik dan 3 ahli ekonomi akan dibentuk yang harus dipilih dari 6 ahli politik dan 7 ahli ekonomi. Ada berapa banyak komisi yang dapat dibentuk jika:
10. Tanpa ada pembatasan apa-apa;
11. 3 ahli politik harus masuk di komisi itu;
12. Seorang ahli ekonomi tertentu dilarang masuk dalam komisi itu?
13. Perusahaan Garuda mempunyai suatu jenis kendaraan yang berisi 6 tempat duduk (3 menghadap ke muka dan 3 menghadap ke belakang).
14. Dengan berapa cara 6 karyawan yang dijemput dapat menempati tempat duduk yang tersedia?
15. Bila ada 2 karyawan yang tidak mau duduk menghadap ke belakang, ada berapa cara 6 karyawan itu menempati tempat duduk yang tersedia?

Bekerja adalah suatu perluasan dari kepribadian. Bekerja adalah suatu pencapaian. Bekerja adalah salah satu cara seseorang dalam mendefinisikan dirinya sendiri, mengukur nilai dirinya dan humanitasnya.

Peter Drucker