UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS DATA

BAB XIII

UJI NORMALITAS DAN HOMOGENITAS DATA

Apapun yang terjadi di dalam diri Anda adalah murni muatan pikiran.

Dalam hitungan detik Anda bisa mengubah muatan negatif menjadi

muatan positif hanya dengan memilih berpikir positif.

 Pegine Echavarria

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pengujian normalitas data statistik, uji normalitas dengan Lillifors, uji normalitas data galat taksiran dengan uji Lilliefors, uji normalitas menggunakan Kolmogorof-Smirnof, uji normalitas Chi-Square dan uji normalitas dengan Q-Q Plot. Pengujian homogenitas menggunakan uji Fisher, uji Barlett, homogenitas varians galat regresi dengan uji Barlett, dan uji-t.

• Pendahuluan

Beberapa formula statistika disusun berdasarkan asumsi-asumsi tertentu. Formula tersebut dapat menggambarkan sebuah fenomena ketika asumsi-asumsi tersebut terpenuhi. Oleh karena itu, jika peneliti menggunakan formula tersebut maka data penelitian diharapkan sesuai dengan asumsi sebuah formula. Uji nonparametrik digunakan apabila asumsi-asumsi pada uji parametrik tidak dipenuhi. Asumsi yang harus dipenuhi pada uji parametrik adalah : (1) sampel acak yang berasal dari populasi yang berdistribusi normal; (2) data bersifat homogen; (3) bersifat linier. Bila asumsi-asumsi ini dipenuhi atau paling tidak penyimpangan terhadap asumsinya sedikit, maka uji parametrik masih bisa diandalkan. Syarat-syarat dalam uji statistik parametrik adalah data yang digunakan diantaranya harus memenuhi asumsi normalitas, homogenitas, multikolinieritas, heteroskedastisitas, autokorelasi dan data harus berskala interval atau rasio. Seberapa besar signifikansi atau keberatian makna suatu tes parametrik bergantung pada validitas asumsi-asumsi tersebut. Tetapi bila asumsi tidak dipenuhi maka uji nonparametrik menjadi alternatif.

Imam Gunawan (2015: 92) mengatakan bahwa data sebelum dianalisis dengan teknik tertentu (yang tergolong statistik parametrik) harus memenuhi uji asumsi klasik. Uji asumsi klasik merupakan uji data yang digunakan untuk mengetahui apakah data penelitian memenuhi syarat untuk dianalisis lebih lanjut, guna menjawab hipotesis penelitian. Sebagai persyaratan untuk pengujian hipotesis pada statistik inferensial, dilakukan pengujian tentang asumsi distribusi normal dan homogenitas. Dalam praktek pengujian tentang asumsi ini menentukan jenis teknik analisis atau statistik uji yang akan digunakan. Pengujian asumsi distribusi normal bertujuan untuk mempelajari apakah distribusi sampel yang terpilih berasal dari sebuah distribusi populasi normal atau tidak normal. Beberapa teknik analisis sepseti uji-t, dan uji F, mensyaratkan perlunya asumsi distribusi normal (Kadir, 2015). Sedangkan teknik analisis seperti Chi-Kuadrat, Gamma, Tau, Mann-Witney, dan Wilcoxon, tidak membutuhkan asumsi distribusi normal atau bebas distribusi.

Persyaratan lain yang juga sering dilakukan adalah pengujian asumsi homogenitas. Pengujian homogenitas menjadi bermakna untuk menjaga komparabilitas terutama untuk pengujian hipotesis tentang perbedaan rata-rata melalui statistik uji-t dan uji-F. Sedangkan untuk penelitian survei-korelasi pengertian homogenitas lebih didasarkan kepada homogenitas konseptual daripada homogenitas secara empiris melalui pengujian dengan data sampel. Terkadang dalam penelitian terutama penelitian eksperimen bila ternyata asumsi homogenitas tidak dipenuhi maka pengujian hipotesis tentang perbedaan rata-rata dua kelompok, masih dapat dilakukan yaitu memalui pendekatan statistik uji-t.

• Uji Normalitas

Data-data berskala interval sebagai hasil pengukuran pada umumnya mengikuti asumsi distribusi normal. Namun, bahwa suatu data ternyata tidak mengikuti asumsi itu bukanlah hal yang mustahil. Untuk mengetahui kepastian sebaran data yang diperoleh, haruslah dilakukan uji normalitas terhadap data yang bersangkutan. Berbagai rumus statistik inferensial yang dipergunakan untuk menguji hipotesis penelitian mendasarkan diri pada asumsi bahwa data yang bersangkutan memenuhi ciri sebaran normal (Winarsunu, 2008).

Dengan kata lain, keadaan data berdistribusi normal merupakan sebuah persyaratan yang harus terpenuhi. Sebuah data yang tidak berdistribusi normal, sebagai konsekuensinya, tidak dapat digarap dengan rumus statistik tersebut. Namun, karena kita telah bersusah payah mengumpulkan data sehingga terlalu sayang kalau dibuang begitu saja, data itu masih dapat dimanfaatkan tetapi harus diperlakukan secara berbeda, misalnya dengan cara “memperberat” persyaratan taraf signifikansi. Misalnya, taraf signifikansi yang semestinya dapat mempergunakan yang 5%, kemudian diperberat menjadi 1%.

            Dengan demikian, sebelum dikenai rumus tertentu statistik, normalitas sebaran suatu data haruslah sudah diketahui. Jadi, uji normalitas data tersebut haruslah sudah dilakukan sebelum penerapan suatu rumus statistik untuk pengujian hipotesis. Dengan kata lain, analisis statistik yang pertama dilakukan dalam rangka analisis data adalah analisis statistik yang berupa uji normalitas. Kepastian terpenuhinya syarat normalitas akan menjamin dapat dipertanggungjawabkannya langkah-langkah analisis statistik selanjutnya sehingga kesimpulan yang diambil juga dapat dipertanggungjawabkan.

            Setelah mengenal dan memahami distribusi normal atau distribusi Gauss pada bab sebelumnya, selanjutnya distribusi normal tersebut dapat digunakan dalam pengujian asumsi normalitas distribusi yakni pengujian yang digunakan untuk menentukan apakah suatu set data sudah sesuai dimodelkan oleh distribusi normal atau tidak? atau untuk menghitung seberapa besar kemungkinan variabel acak sudah terdistribusi secara normal. Namun, perlu juga dicatat bahwa ada rumus statistik yang tidak begitu peka terhadap penyimpangan dari asumsi normalitas data. Tepatnya, walau terjadi penyimpangan terhadap syarat normalitas tersebut, penyimpangan itu haruslah tidak terlalu besar. Jadi, ia masih dalam taraf yang wajar. Misalnya, rumus t-tes atau  diketahui tidak begitu sensitif terhadap penyimpangan yang wajar asumsi distribusi normal.

Analisis tentang distribusi normal merupakan analisis pendahuluan dan menjadi prasyarat apakah suatu teknik analisis statistika dapat digunakan untuk menguji hipotesis. Jika seandainya dari hasil analisis ternyata data tidak berdistribusi normal, dapat digunakan beberapa teknik analisis statistika non-parametrik sebagai alternatif. Uji asumsi normalitas yang lebih komplek dan lengkap sering juga disebut dengan uji kesesuaian model (Goodness of Fit) dimaksudkan untuk menguji apakah model yang diusulkan memiliki kesesuaian (fit) dengan data atau tidak. Suatu data dikatakan fit apabila matrik korelasi sampel tidak jauh berbeda dengan matriks korelasi estimasi. Ada beberapa cara yang dapat dipergunakan untuk melakukan uji normalitas data, yaitu: uji normalitas Lilliefors, uji normalitas galat taksiran dengan uji Lilliefors, uji normalitas menggunakan Kolmogorof-Smirnof, uji normalitas Chi-Square dan uji normalitas dengan Q-Q Plot.

• Uji Normalitas Data Dengan Uji Lilliefors

Uji kenormalan dengan uji Lilliefors menggunakan konsep statistika non-parametrik. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan ,,….., . Berdasarkan sampel ini akan diuji hipotesis nihil () bahwa sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal melawan hipotesis alternatif () bahwa populasi yang berdistribusi tidak normal. Untuk pengujian hipotesis nihil tersebut kita tempuh dengan prosedur berikut.

1. Pengamatan ,,…..,   ditransformasikan ke skor baku  ,,…..,   dengan mengggunakan rumus , di mana  dan s masing-masing merupakan rata-rata dan standar deviasi sampel.
2. Untuk tiap bilangan baku ini dan menggunakan daftar distribusi normal baku, kemudian dihitung peluang F (zi) = P (z < zi).
3. Selanjutnya dihitung proposisi skor z₁, z₂, …., z_n yang lebih kecil atau sama dengan z_i. Jika proporsi ini dinyatakan oleh S(zi), maka S(zi) =
4. Menghitung selisih F (zi) – S (zi) kemudian menentukan harga mutlaknya.
5. Mengambil harga yang paling besar di antara harga-harga mutlak selisih tersebut. Sebutlah harga terbesar ini L₀.

Untuk menerima atau menolak hipotesis nol, nilai L₀  dibandingkan nilai kritis L yang diambil dari daftar berikut untuk taraf nyata α yang dipilih. Kriterianya adalah tolak hipotesis nol bawah populasi berdistribusi tak normal jika L₀  yang diperoleh dari data pengamatan melebihi L kritis yang diperoleh dari daftar. Dalam hal lainnya, hipotesis nol diterima atau data berdistribusi normal.

Tabel 13.1  Nilai Kritis untuk Uji Lilliefors (Kadir, 2015 : 145).

Contoh 1.

Perhitungan uji normalisasi untuk sampel berukuran 30 responden dengan menggunakan uji Liliefors disajikan pada tabel berikut.

Jawab

Tabel 13.2  Perhitungan Uji Normalitas Dengan Lilliefors

Keterangan:

Rata-rata () = 78,8, Standar Deviasi (s)  = 5,689, kolom 3 diperoleh dengan menggunakan rumus: . Misalnya untuk data (x_i) = 67 maka z₁ =  = -2,0743, kolom 4 diperoleh dari daftar distribusi normal untuk setiap nilai z_i (atau pada Microsoft Excel dengan menekan = NORMSDIST pada sheet Excel untuk setiap z_i ), kemudian kolom 5 adalah 1/n, misalnya data ke-1 atau 1/30 = 0,0333.

            Dari tabel di atas diperoleh L₀ = 0.0840. Sedangkan dari tabel Lilliefors pada α = 0.05 (n = 30) diperoleh L-tabel = 0,161. Hal ini berarti harga L₀  < L-tabel. Dengan demikian, H₀ diterima atau data sampel berasal dari populasi berdistribusi normal. Bagaimana jika data penelitian tidak memenuhi distribusi normal? Hal ini dilakukan jika data tidak berdistribusi normal, yaitu :

1. Menambah jumlah sampel. Sampel besar lebih mendukung distribusi normal dibanding dengan sampel kecil.
2. Menyisipkan Outliers adalah skor yang nilainya ekstrem karena sangat jauh berbeda dengan skor pada umumnya. Keberadaan outliers dapat merusak distribusi.
3. Memisah data berdasar kategori. Terkadang distribusi normal mengacu pada kategori tertentu, sehingga untuk mengujinya peneliti perlu membagi skor berdasarkan kategori yang ada (misalnya gender, status).
4. Normalisasi data (transformasi data). Kadang-kadang dalam kategori yang lain data dapat menunjukkan distribusi normal.

Contoh 2.

Lakukan uji normalitas dari hasil pengumpulan data suatu sampel seperti berikut:

                        2          3          4          2          4          3          5          4

                        5          5          6          6          6          5          5          9

                        6          6          8          8          8          8          9          9

Jawab:

Sajian data tersebut dalam tabel dan diurutkan, kemudian dilakukan perhitungan rerata (mean) dan simpangan baku seperti berikut:

Tabel 13.3. Tabel Deskriptif untuk Menghitung Rerata

Sehingga didapat, mean =   = = 5,7

Dan simpangan baku     =     = 2,2

            Selanjutnya, lakukan konversi setiap nilai mentah menjadi nilai baku  dan selanjutnya tentukan nilai  dengan langkah-langkah seperti tabel berikut:

Tabel 13.4. Tabel Penolong Menghitung Uji Liliefors

            Dari hasil perhitungan dalam tabel tersebut, didapat nilai Lo=0,1487; sedangkan dari tabel Liliefors untuk ɑ=0,05 dan n=24 didapat nilai =0,173. Karena nilai Lo <   maka H0 diterima dan disimpulkan data atau sampel berasal dari populasi berdistribusi normal.

• Uji Normalitas Data Galat Taksiran dengan Uji Lilliefors

Uji normalitas galat taksiran digunakan sebagai persyaratan dalam analisis regresi. Galat taksiran didefinisikan sebagai Y₁  – Ŷ = ε.

Contoh 3

Misalkan variabel kompetensi (x) dan variabel kinerja (Y). Hasil perhitungan disajikan pada tabel berikut.

Tabel 13.5. Perhitungan Uji Normalitas Galat Taksiran

Keterangan:

Kolom ke-3 adalah persamaan regresi Ŷ = a + b X di mana:

b =  dan a =  – b

untuk     X   = 746

 X²   = 56428 

  ₁     =  74,60

 Y   = 811

 Y²  = 66037

 XY = 60920  

        = 81,10

 xy  =  XY –  

          = 60920 – (746)(811) = 419,40

 x²  =  x²  –  

= 56428 – (746)²  = 776,40

 y² =  Y² –  

= 66037 – (811)² = 264,90

b     =  = 0,540 dan a = 81,10 – (0,540)(74,60) = 40,802

Sehingga kolom ke-4 berisi, persamaan regresi Y atas X, yaitu Ŷ = 40,802 + 0,54 X. Misalkan untuk baris pertama X = 60 maka Ŷ = 40,802 + 0,54(60) = 73,20. Selanjutnya kolom ke-5 diperoleh dari Y_i – Ŷ, sehingga untuk Y_i = 75 maka Y_i – Ŷ = 75 – 73, 20 = 1,798. Kolom ke-6 yaitu galat adalah kolom ke-5 setelah diurutkan dari kecil ke besar. Kolom ke-7 adalah harga z setiap data kolom ke-6, yaitu Z_galat = _, untuk x_i(galat) = -3,202 diperoleh skor baku dan deviasi baku berikut:  = -0,0193, s_(galat) = 2,0003 diperoleh z_galat = -1,59. Nilai F(z_i) kolom ke-8 diperoleh dari daftar distribusi normal untuk setiap nilai Z_i (atau pada sheet Microsoft Excel dengan menekan = NORMSDIST), kemudian S(z_i) kolom ke-9 adalah 1/n atau untuk baris pertama 1/10 = 0,100. Selanjutnya kolom ke-10 adalah nilai maksimum dari harga mutlak selisih F(z_i) dan S(z­_i). Dari hasil analisis di atas diperoleh L₀ = 0,097 < L-tabel = 0,258 (α = 0.05 dan n = 10). Dengan demikian, H₀ diterima atau data galat taksiran berasal dari populasi berdistribusi normal.

• Uji Normalitas Dengan Chi-Square

Uji normalitas yang dikemukakan berikut adalah yang mempergunakan model Chi-Square  . Uji normalitas dengan mempergunakan model Chi-Square dapat ditempuh dengan dua cara, yaitu yang berbeda dalam penghitungan frekuensi yang diharapkan .

Cara pertama untuk menemukan E adalah dengan penghitungan luas daerah z-skor, dihitung menggunakan rumus berikut.

 Frekuensi yang diobservasi (yang diperoleh, )

 Frekuensi yang diharapkan

            Jadi dalam uji normalitas suatu data yang mempergunakan rumus  terlebih dahulu kita harus menghitung frekuensi yang diharapkan , sedangkan frekuensi yang diobservasi  sudah dengan sendirinya tersedia. Selain itu, walau data yang ingin diuji normalitasnya itu merupakan data yang berskala interval, yang menjadi persoalan bukan besar kecilnya bilangan tiap data individual  yang ada, melainkan frekuensi pemunculan tiap bilangan data. Dengan demikian, data yang digarap dalam uji normalitas ini adalah data nominal, yaitu masalah sebaran data-data itu, apakah mengikuti asumsi distribusi normal ataukah tidak.

            Sebagai contoh pembicaraan di bawah ini disajikan sebuah hasil pengukuran kemampuan statistik 55 orang mahasiswa yang telah ditampilkan ke dalam bentuk tabel distribusi bergolong. Kelas interval yang dibutuhkan adalah 7. Hipotesis yang diajukan adalah hipotesis nol dengan taraf signifikansi 5%.

Contoh 4.

Tabel 13.6. Skor Kemampuan Statistik Mahasiswa

            Langkah-langkah untuk menguji normalitas sebaran data tersebut adalah sebagai berikut.

• Menentukan batas-batas kelas interval untuk menghitung luas daerah kurve normal. Batas kelas interval pertama adalah 84,5 dan 79,5, kedua 74,5 dan 69,5, dan seterusnya.
• Mentransformasikan batas kelas tersebut ke dalam bilangan z-skor. Batas kelas 84,5 dan 79,5 mempunyai z 2,41 dan 1,74, batas kelas 74,5 dan 69,5 mempunyai z 1,06 dan 0,39, dan seterusnya.
• Menghitung luas daerah tiap kelas interval berdasarkan tabel daerah kurve normal. Luas daerah kelas interval pertama dengan z 2,41 dan 1,74 adalah 0,4920 dan 0,4591, sehingga luas kelas interval itu: 0,4920 – 0,4591 = 0,0329. Dengan cara yang sama dapat ditemukan luas daerah kelas-kelas interval berikutnya.
• Menghitung frekuensi teoritis (frekuensi harapan), yaitu dengan cara: luas daerah kelas interval kali 55 (jumlah kasus). Untuk kelas interval pertama di atas adalah: . Dengan cara yang sama dapat ditemukan frekuensi teoritis kelas-kelas interval berikutnya.
• Hasil penghitungan-penghitungan tersebut kemudian disajikan dalam bentuk tabel, dan kemudian dapat dihitung besarnya dengan mempergunakan rumus di atas.

Hasil penghitungan langkah demi langkah contoh di atas ditampilkan dalam Tabel 13.7.

Tabel 13.7. Perhitungan Frekuensi yang Diharapkan (E) dan Frekuensi Pengamatan

            Setelah seluruh frekuensi harapan (e) ditemukan, data itu kemudian dimasukkan ke dalam rumus untuk mendapatkan bilangan .

            Untuk menguji harga  tersebut dipergunakan taraf signifikansi 5% (p = 0,05) dengan db (derajat kebebasan) k – 3, dan dalam contoh di atas db: 7 – 3 = 4. Tabel nilai-nilai kritis Chi-Square dengan db 4 pada taraf signifikansi 5% menunjukkan bilangan sebesar 9,488. Bilangan Chi-Square yang diperoleh dalam penghitungan di atas jauh di bawah bilangan pada taraf signifikansi 5%. Dengan demikian, hipotesis nihil diterima. Artinya, data yang diuji distribusinya itu terbukti berdistribusi normal sehingga dapat diterapkan pada teknik statistik yang mempersyaratkan distribusi normal terutama untuk data interval. Jadi tujuan uji normalitas adalah untuk mengetahui apakah data penelitian yang diperoleh berdistribusi normal atau mendekati normal.

Cara kedua pengujian normalitas data hasil penelitian dengan menggunakan Chi-Square, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut (Kadir, 2015).

1. Perumusan hipotesis.

H₀ : Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal.

H₁ : Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal.

1. Data dikelompokka ke dalam distribusi frekuensi.
2. Menentukan proporsi ke-j (Pj).
3. Menentukan 100 Pj yaitu persentase luas interval ke-j dari suatu distribusi normal melalui transformasi ke skor baku z_i =
4. Menghitung nilai ᵪ² hitung melalui rumus sebagai berikut.

1. Menghitung nilai ᵪ² _tabel pada derajat bebas (db) = k -3, dimana k banyaknya kelompok.
2. Kriteria pengujian.

Jika ᵪ²  ≤ ᵪ² _tabel  maka H₀ diterima.

Jika ᵪ²  > ᵪ² _tabel  maka H₀ ditolak.

1. Kesimpulan

ᵪ²  ≤ ᵪ² _tabel  Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal.

ᵪ²  > ᵪ² _tabel   Sampel berasal dari distribusi tidak normal.

Contoh 5.

Perhitungan uji normalitas 150 skor hasil ujian statistika dengan menggunakan Chi-Square sebagai berikut.

Tabel 13.8. Perhitungan Uji Normalitas Menggunakan Cara 2.

Keterangan:

Rata-rata = 77,6 dan Std = 7,01, kolom P_i diperoleh dari (f_i/150)x100, misalnya f_i = 25, maka P_i = (25/150)x100 = 17. Misalkan 100P₁ (interval 60-64), batas-batasnya 59,5 dan 64,5 sehingga diperoleh harga Z₁ = -2,58 dan Z₂ = -1,87, luas daerah antara Z₁ dan Z₂ yang dibatasi oleh 0,0049 dan 0,0308 adalah (0,0308 – 0,0049) = 0,0259, sehingga P₁ = 100×0,0259 = 2,59.

Bandingkan dengan ᵪ² _tab  untuk db = n – 3 = 7 – 3 = 4, sehingga ᵪ² _tab  = ᵪ² _(0,05)(4) = 9,49 sehingga ᵪ²  < ᵪ² _tab   atau H₀ diterima. Dengan demikian, populasi skor berdistribusi normal.

Cara ketiga menghitung normalitas dengan uji kecocokan Chi-Square

Tabel 13.9. Perhitungan Uji Normalitas dengan Uji Kecocokan Chi-Square

Keterangan:

Rata-rata = 77,6 dan Std = 7,01, kolom 3 yaitu F(z) adalah luas daerah dari harga z₁ (pada sheet Microsoft Excel diperoleh dengan cara menekan = NORMSDIST untuk setiap nilai kolom Z_i), kolom 4 diperoleh dari selisih F(z) yang berikutnya dengan F(z) yang mendahuluinya. Kolom 5 diperoleh dari kolom F(z)x150, misalnya 0,0259×150 = 3,89. Sehingga  diperoleh:  = 4,1806, bandingkan dengan ᵪ² _tab  untuk db = n – 3 = 7 – 3 = 4, sehingga ᵪ² _tab  = ᵪ² _(0,05)(4) = 9,49 sehingga ᵪ²  < ᵪ² _tab   atau H₀ diterima. Dengan demikian, populasi skor berdistribusi normal.

            Dari distribusi probabilitas normal diturunkan berbagai distribusi probabilitas lainnya. Mereka dikenal sebagai distribusi probabilitas khi-kuadrat, t-Student, dan Fisher-Snecdor. Mereka semua dikenal sebagai rumpun distribusi probabilitas normal. Dalam keadaan tertentu, distribusi probabilitas pada suatu peristiwa adalah normal, namun dalam keadaan lainnya, dapat saja distribusi probabilitasnya adalah khi-kuadrat, atau t-Student, atau Fisher- Snecdor. Distribusi probabilitas Fisher-Snecdor juga dikenal sebagai distribusi probabilitas F (Naga, 2008).

• Uji Normalitas dengan Kolmogorov-Smirnov

Pengujian normalitas data hasil penelitian dengan menggunakan uji Kolmogorov-Smirnov, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut (Kadir, 2015; Edi Riadi, 2015).

1. Perumusan hipotesis

H₀ : Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

H₁ : Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal

1. Menyusun sebaran data yang akan diuji dengan terlebih dahulu diurutkan dari yang terkecil sampai dengan yang paling besar.
2. Menentukan frekuensi masing-masing data
3. Menentukan kumulatif proporsi (kp)
4. Menghitung nilai normal standar tiap data ditransformasi ke skor baku dengan rumus:

z_i =

1. Menentukan kurva z_i (z-tabel)
2. Menentukan a₁ dan a₂:

a₂: selisih Z-tabel dan kp pada batas atas (a₂ = Absolut (kp –Ztab))

a₁: selisih Z-tabel dan kp pada batas bawah (a₁ = Absolut (a2 –fi/n))

1. Nilai mutlak maksimum dari a₁ dan a₂ dinotasikan dengan Do
2. Menentukan harga D-tabel dengan rumus D-tabel pada tingkat kepercayaan 95%

Untuk n = 30 dan α = 0,05, diperoleh D-tab =   =  = 0,242 sedangkan

Untuk n = 60 dan α = 0,05, diperoleh D-tab =  =  = 0.17557.

1. Kriteria pengujian

Jika Do ≤ D-tabel maka H₀ diterima

Jika Do > D-tabel maka H₀ ditolak

1. Kesimpulan

Do  ≤ D-tabel: Sampel berasal dari populasi berdistrbusi normal

Do > D-tabel: Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal

Contoh 6

Perhitungan uji normalitas data “perilaku metakognisi” dari 30 responden dengan uji Kolmogorov-Smirnov sebagai berikut.

Tabel 13.10. Tabel Penolong Perhitungan Uji Normalitas Data Kolmogorof-Smirnov

Keterangan

Kolom 3, nilai kp, misalkan untuk X₁ = 163 diperoleh dengan cara (3+2+3)/30 = 0,2667. Kolom 4, adalah harga z₁ misalnya X₁ = 158, maka Z = (158-170,633)/8,428 = -1,4990. Kolom 5 adalah harga Z_tab untuk setiap z₁ (pada sheet Microsoft Excel dengan menekan = NORMDIST untuk setiap nilai z₁ pada kolom 4). Dari perhitungan tersebut diperoleh D-hitung (Do) = 0.0812 ≈ 0,08. Sedangkan dari tabel pada α = 0.05 (n = 30) diperoleh dari tabel D-tabel = 0,242. Ini berarti Do lebih kecil dari D-tabel. Dengan demikian, H₀ diterima atau data sampel berasal dari populasi berdistribusi normal.

• Uji Normalitas dengan Q-Q Plot

Plot atau disebut Q-Q Plot dapat digunakan untuk menguji asumsi normalitas. Plot ini dapat dibentuk dari distribusi marginal sampel pada setiap variabel. Sebuah plot dari quantil-quantil sampel yang terobservasi akan membentuk distribusi normal. Jika kumpulan titik-titik mendekati suatu garis lurus, maka asumsi normalitas dapat diperoleh.

Andaikan x₁, x₂,….. x_n, mereprentasikan n buah observasi dari variabel X₁. Andaikan pula x₁ ≤ x₂ ≤ x₃ ≤,…..≤ x_n merupakan observasi terurut, maka x_(i) adalah quantil sampel yang berbeda (kurang atau sama dari setiap observasi ke-i). Selanjutnya proporsi i/n dari sampel yang dibentuk x_(i) dapat diperoleh melalui pendekatan , yang lebih cocok.

Distribusi normal baku dari quantil q(i) didefinisikan oleh hubungan:

P[(Z ≤ q(i)] , di mana p(i) adalah probabilitas yang kurang atau sama q(i) yang digambarkan dari distribusi populasi normal. Idea ini dapat dilihat pasangan quantil {q(i), x(i)} yang berasosiasi dengan probabilitas . Jika data diambil dari populasi normal maka pasangan data {q(i), x (i)} akan membentuk sebuah garis linear, di mana ϭq(i) + µ adalah quantil sampel terdekat yang diharapkan. Asumsi normalitas diperlihatkan oleh hasil uji koefisien korelasi yang signifikan antara data observasi dengan standar normal quantil, dengan terlebih dahulu menghitung probabilitasnya. Sebagai contoh, misalkan sebuah sampel terurut denagn 10 anggota, dapat ditentukan probabilitasnya untuk data ke-8 yaitu:

P[(Z ≤ q(i)]  = 0,75

Kadir (2015) menjelaskan langkah-langkah  perhitungan uji-normalitas dengan Q-Q Plots:

1. Merumuskan Hipotesis

H₀: Sampel berasal dari populasi berdistribusi normal

H₁: Sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal

1. Mengurutkan data observasi awal atas x₁, x₂,………. x_n
2. Menentukan nilai probabilitas atas
3. Menghitung normal baku quantil q₁, q₂,…….. q_n,
4. Buat plot pasangan data observasi {q₍₁₎, x₍₁₎), (q₍₂₎, x₍₂₎) ,……. q_(n), x_(n)} dan uji signifikansi garis yang terbentuk melalui uji koefisien korelasi denagn rumus deviasi sebagai berikut:
5. Menentukan r-kritis sesuai ukuran sampel (n), yang dapat diperoleh dari nilai kritis untuk Q-Q Plot sebagai berikut.

Tabel 13.11. Nilai Kritis Q-Q Plot

1. Kesimpulan

Jika r_hitung > r_tabel maka H₀ diterima atau sampel berasal dari populasi berdistribusi normal (titik-titik mendekati atau tempat berimpit dengan garis linear).

Jika r_hitung ≤  r_tabel maka H₀ ditolak atau sampel berasal dari populasi berdistribusi tidak normal (titik-titik menjauhi garis linear).

Contoh 7

Andaikan kita mempunyai data observasi terurut sebagai berikut.

Tabel 13.12. Perhitungan Uji Normalitas Q-Q Plot

Keterangan

Misalkan data urutan ke-1, maka p (1) =  = 0,07 dan seterusnya. Kolom ke-3 diperoleh dari daftar distribusi normal untuk setiap probabilitas ke-I (atau dari sheet Microsoft Excel dengan menekan NORMSINV pada fungsi statistical). Misalnya = NORMSIV (0,07) kemudian tekan enter, maka diperoleh bilangan -1,476. Asumsi normalitas suatu distribusi data ditentukan oleh keberartian koefisien korelasi antara Xi dan quantil q_i dengan menggunakan koefisien korelasi product momen berikut:

 =   di mana

  =  –

 =  –  dan   =  –  

 =  = 0,8787

Sehingga  atau  diterima. Dengan demikian, populasi skor dikatakan berdistribusi normal.

• Pengujian Asumsi Homogenitas

Persyaratan uji statistik inferensial parametrik yang kedua adalah homogenitas.  Pengujian homogenitas dilakukan dalam rangka menguji kesamaan varians setiap kelompok data.  Persyaratan uji homogenitas diperlukan untuk melakukan analisis inferensial dalam uji komparasi. Dalam penelitian eksperimen dan non eksperimen homogenitas sering diartikan dalam tiga hal, yaitu: homogenitas teori atau konsep, homogenitas kelompok atau group, dan homogenitas data. Masing-masing homogenitas tersebut dijelaskan sebagai berikut:

1. Homogenitas teori terkait dengan variabel penelitian. Misalnya, kita ingin meneliti logat penutur bahasa Indonesia. Populasinya adalah semua orang Indonesia yang sudah lancar berbicara. Jelas bahwa populasi ini tidak homogen, karena di Indonesia terdapat banyak jenis logat penutur yang berbeda-beda. Untuk itu populasi dibagi-bagi ke dala sub-sub populasi, misalnya logat Riau, Batak, Padang, Bugis, Makasar, Jawa, Sunda, Betawi, Bali dan logat campuran. Dengan cara demikian satuan-satuan elementer dari sub-sub populasi tersebut menjadi homogen, kemudian sampel dapat ditetapkan dari masing-masing sub populasi tersebut.
2. Homogenitas kelompok, terutama ditemui dalam penelitian eksperimen. Homogenitas dalam pengertian ini bermakna bahwa kelompok yang terbentuk terpilih secara random sehingga kelompok-kelompok tersebut ekuivalen dalam segala hal kecuali perlakuan berbeda yang akan diberikan. Dengan demikian, homogenitas atau ekivalensi kelompok diperoleh melalui proses randomisasi subjek.
3. Homogenitas data mempunyai makna bahwa data memiliki variasi atau keragaman nilai sama atau secara statistik sama. Jadi penekanan dari homogenitas data adalah pada keragaman varians data tersebut. Homogenitas data merupakan salah satu persyaratan yang direkomendasikan untuk diuji secara statistik, misalnya uji-t dan uji-F. Walaupun demikian, dalam keadaan terpaksa untuk kasus uji hipotesis perbedaan dua rata-rata dari kelompok yang tidak homogeny (heterogen) dapat digunakan pendekatan statistik uji-t.

Selain itu prosedur yang digunakan untuk melihat asumsi homogenitas yaitu dengan memeriksa indeks residu baku (standardized residual  indexs) dalam distribusi. Uji asumsi homogenitas digunakan untuk menguji apakah sebaran data dari dua varians atau lebih berasal dari populasi yang homogen atau tidak, yaitu dengan membandingkan dua atau lebih variansnya. Apabila dua kelompok data atau lebih mempunyai varians yang sama besar, maka homogenitas tidak perlu dilakukan lagi karena datanya sudah dianggap homogen. Uji homogenitas bisa dilakukan apabila kelompok data tersebut berdistribusi normal. Uji homogenitas dilakukan untuk menunjukkan bahwa perbedaan yang terjadi pada uji statistik parametrik benar-benar terjadi akibat adanya perbedaan antar kelompok, bukan sebagai akibat perbedaan dalam kelompok. Terdapat berbagai teknik pengujian asumsi homogenitas dalam statistika, tetapi dalam buku ini hanya akan dibahas adalah uji Fisher, uji Barlett, homogenitas varians galat regresi dengan uji Barlett, uji-t, dan uji F Hartley.

• Uji Asumsi Homogenitas Fisher (Uji-F)

Pengujian homogenitas dengan uji F dapat dilakukan apabila data akan diuji hanya ada 2 (dua) kelompok data/sampel.  Uji F dilakukan dengan cara membandingkan varian data terbesar dibagi varians data terkecil. Langkah-langkah melakukan pengujian homogenitas dengan Uji F sebagai berikut:

1. Tentukan taraf signifikan (α) untuk menguji hipotesis:

H₀  :  =   (varian 1 sama dengan varians 2 atau homogen)

H₁  :  ≠   (varian 1 tidak sama dengan varians 2 atau tidak homogen)

Dengan kriteria pengujian:

–  Terima H₀  jika F_hitung  <  F_tabel ; dan

–  Tolak H₀ jika F_hitung  >  F_tabel

1. Menghitung varian tiap kelompok data.
2. Menentukan nilai F_{hitung ,}yaitu F_{hitung =}  
3. Menentukan nilai F_tabel untuk taraf signifikan α, dk₁ = dk_pembilang = n_a-1, dan dk₂ = dk_penyebut = n_b-1.  Dalam hal ini, n_a= banyaknya data kelompok varian terbesar (pembilang) dan n_b = banyaknya data kelompok varian terkecil (penyebut).
4. Melakukan pengujian dengan cara membandingkan nilai F_hitung dan F

Contoh 8

Lakukan pengujian homogenitas dari kedua kelompok data berikut:

Tabel 13.13. Nilai Kelompok A dan B

Jawab:

1. Menghitung mean (rerata) dan varian kedua kelompok data:

    Tabel 13.14. Data Uji Fisher Kelompok A dan Kelompok B

Dari data di atas, untuk kelompok A didapat:

Rerata (mean) kelompok A = X̅_A =  = 5,5 dan

Varian data kelompok A = =  = 6,0

Rerata (mean) kelompok B = X̅_B =  = 4,2 dan

Varian data kelompok B =  =  = 3,4

2. Menghitung nilai F₀ atau F_hitung:

F_hitung =  =  = 1,742

3. Menentukan F_tabel:

Dengan db_pembilang = 8-1 = 7 (untuk varian terbesar) dan db_penyebut = 9-1 = 8 (untuk varian terkecil), serta taraf signifikasi (α) = 0,05 maka diperoleh F_tabel = 3,50.

4. Membandingkan F_hitung dengan F_tabel:

Ternyata F_hitung = 1,742 < F_tabel = 3.500 maka H₀ diterima dan disimpulkan kedua kelompok data memiliki varian yang sama atau homogen.

• Uji Asumsi Homogenitas Bartlett

Pengujian homogenitas dengan uji Bartlett dapat diperuntukkan apabila data yang akan diuji lebih dari 2 (dua) kelompok data/sampel.  Pengujian homogenitas dengan uji Bartlett dilakukan dengan langkah-langkah seperti berikut:

1. Menyajikan data semua kelompok sampel, misal seperti berikut:

   Tabel 13.15. Tabel Format Data Uji Bartlett

1. Menghitung rerata (mean) dan varian serta derajat kebebasan (dk) setiap kelompok data yang akan diuji homogenitasnya.
2. Menyajikan dk (derajat kebebasan) dan varian (s²) tiap kelompok sampel dalam tabel pertolongan berikut, serta sekaligus hitung nilai logaritma dari setiap varian kelompok dan hasil kali dk dengan logaritma varian dari tiap kelompok sampel:

    Tabel 13.16. Tabel Penolong Asumsi Homogentitas Uji Bartlett

1. Hitung varian gabungan dari semua kelompok sampel:

s² =                                                                             

1. Hitung harga logaritma varian gabungan dan harga satuan Bartlett (B), dengan rumus:

         B = (log s²) ∑(n_i-1)

1. Hitung nilai chi-kuadrat (χ²_hitung), dengan rumus:

χ²_hitung = (ln 10) (B – ∑(n_i – 1) log )                                                                  

1. Tentukan harga chi-kuadrat (χ²_tabel), pada taraf nyata misal α=0,05 dan derajat kebebasan (dk) = k-1, yaitu:

χ²_tabel = x_(1-α)(k-1)

(dalam hal ini k = banyaknya kelompok sampel)

1. Menguji hipotesis homogenitas data dengan cara membandingakan nilai χ²_hitung dengan χ²_tabel

Kriteria pengujian adalah:

-Tolak H₀ jika χ²_hitung  > χ²_(1-α)(k-1) atau χ²_hitung > χ²_tabel

-Terima H₀ jika χ²_hitung  < χ²_(1-α)(k-1) atau χ²_hitung < χ²_tabel

Hipotesis yang diuji adalah:

H₀ :  =  =…=  (semua populasi mempunyai varian sama/homogen)

H₁ : Bukan H₀  (ada populasi yang mempunyai varian berbeda/tidak homogen)

1. Simpulan

Jika χ²_hitung < χ²_tabel  maka dapat disimpulkan bahwa sampel berasal dari populasi yang homogen.

Contoh 9

Hasil belajar matematika dari 3 kelompok sampel yang belajar pada pagi, siang dan sore hari seperti berikut.  Apakah ketiga data kelompok sampel tersebut homogen?

Tabel 13.17.  Hasil Belajar Matematika Kelompok Pagi, Siang dan Sore

Jawab:

1. Menyajikan dalam tabel serta menghitung mean (rerata) dan varian tiap kelompok sampel seperti berikut :

      Tabel 13.18. Tabel Persiapan Asumsi Homogenitas Uji Bartlett

1. Membuat tabel penolong untuk menentukan harga – harga yang diperlukan dalam uji asumsi homogenitas Bartlett :

       Tabel 13.19. Tabel Penolong Perhitungan Uji Bartlett

1. Menghitung varian gabungan dari semua kelompok sampel :

s² =  = 1,63

1. Menghitung harga logaritma varians gabungan dan harga satuan B :

log s² = 0,21

dan B = (log s²) ∑ (n_i – 1) = 4,24

1. Menghitung Nilai chi-kuadrat (χ²_hitung) :

χ²_hitung = (ln 10) (B – ∑ (n_i -1)log s_i²) = 0,569

1. Menentukan harga chi-kuadrat tabel (χ²_tabel), pada taraf nyata missal α=0,05 dan derajat kebebasan (dk) = k-1=2, yaitu : χ²_tabel = χ²_(1-α)(k-1) = 5,99
2. Menguji hipotesis homogenitas data dengan cara membandingkan nilai χ²_hitung dengan χ²_tabel. Ternyata χ²_hitung < χ²_tabel maka H₀ diterima, dan disimpulkan ketiga kelompok data memiliki varian yang sama atau homogen.
   • Homogenitas Varians Galat Regresi dengan Uji-Bartlett

Uji homogenitas varians populasi biasa ditemukan pada jenis penelitian korelasi yang menggunakan teknik analisis regresi.

Contoh 10.

Misalnya suatu penelitian yang mempelajari pengaruh variabel insentif (X) dan kinerja pegawai (Y) dengan data sebagai berikut:

       Tabel 13.20. Perhitungan Kuadrat dan Varian Galat

Keterangan

Hasil perhitungan sebagaimana disarikan pada tabel di atas, diperoleh melalui langkah-langkah sebagai berikut (Kadir, 2015):

1. Mengurutkan pasangan data (X,Y) berdasarkan urutan variabel X, kemudian membentuk pengelompokan pada variabel Y untuk setiap data X yang sama.
2. Menghitung varian galat pada kolo 4, dengan menggunakan rumus

 – , misalkan dihitung kuadrat galat untuk kelompok III, yaitu :

 +   –   = 49 + 64 – 112,5 = 0,5

1. Memberi nomor kelompok pada kolom 5, yaitu untuk setiap variabel X yang sama akan terbentuk sebuah kelompok.
2. Menentukan jumlah anggota setiap kelopok pada kolom 6, misalnya kelompok IV terdiri dari tiga anggota yaitu 8, 9, dan 9, maka kelompok IV terdiri dari 3 anggota.

Berdasarkan hasil perhitungan pada tabel di atas dilakukan perhitungan uji Bartlett sebagai berikut:

Keterangan

S² merupakan varians sampel dengan jumlah kelompok (k=4)

 =  =  = 0,7333 dan db = k – 1 = 4 -1 = 3

B = (Log )  = (log 0,7333) (5) = -0,674

χ²_hitung = (ln 10) (B – ∑ db Log s² ) = (2,3025) (-0,674 – (-1,255)) = 1,34

χ²_hitung = 1,34 dan χ²_tabel = 7,82.

Hasil perhitungan menunjukkan bahwa χ²_hitung < χ²_tabel yang berarti H₀ diterima.

Dengan demikian data galat regresi variabel Y dan variabel X mempunyai varians yang sama atau homogen.

• Homogenitas Varians Dua Buah Sampel Berkorelasi dengan Uji-t

Andaikan kita ingin mengetahui apakah skor hasil belajar matematika pada dua kelompok yang tidak independent (berkorelasi), misalnya distribusi skor pada pre-tes dan pos-tes maka kita dapat menguji homogenitasnya dengan menggunakan statistik uji t. Formula statistik uji-t yang diekspresikan sebagai berikut:

t =   di mana :

 = varian pretes

  = varian postes

 = koefisien korelasi antar pretes-postes

  =  (n-2), n adalah pasangan data pretes-postes

Sedangkan hipotesis statistiknya adalah :

H₀ :

H₀ :

Perhitungan pengujian perbedaan varians pretes-postes pada taraf signifikansi α = 0,05 menggunakan contoh data berikut:

Contoh 11.

Pretes  4   5   6   8   8   9     s² = 3,867,  s = 1,966,  n = 6,  = 0,899

Postes  5   5   6   6   7   8     s² = 1,367,  s = 1,169,  n = 6,  db = 4

t =  = 2,484

Bandingkan dengan  pada db = 4 dan α = 0,05, yaitu  = 2,78.

Karena  maka H₀ diterima.

Jadi distribusi populasi pre-tes dan pos-tes mempunyai varians yang sama atau homogen.

Rangkuman

Asumsi yang harus dipenuhi pada uji parametrik adalah : (1) sampel acak yang berasal dari populasi yang berdistribusi normal; (2) data bersifat homogen; (3) bersifat linier. Ada beberapa cara yang dapat dipergunakan untuk melakukan uji normalitas data, yaitu: uji normalitas Lilliefors, uji normalitas galat taksiran dengan uji Lilliefors, uji normalitas menggunakan Kolmogorof-Smirnof, uji normalitas Chi-Square dan uji normalitas dengan Q-Q Plot. Uji kenormalan dengan uji Lilliefors menggunakan konsep statistika non-parametrik. Misalkan kita mempunyai sampel acak dengan hasil pengamatan ,,….., . Berdasarkan sampel ini akan diuji hipotesis nihil () bahwa sampel tersebut berasal dari populasi berdistribusi normal melawan hipotesis alternatif () bahwa populasi yang berdistribusi tidak normal.

Uji normalitas galat taksiran digunakan sebagai persyaratan dalam analisis regresi. Galat taksiran didefinisikan sebagai Y₁  – Ŷ = ε. Uji normalitas dengan mempergunakan model Chi-Square dapat ditempuh dengan dua cara, yaitu yang berbeda dalam penghitungan frekuensi yang diharapkan . Cara pertama untuk menemukan E adalah dengan penghitungan luas daerah z-skor, dihitung menggunakan rumus berikut.

Cara kedua pengujian normalitas data hasil penelitian dengan menggunakan Chi-Square, dilakukan dengan langkah-langkah sebagai berikut: 1. Perumusan hipotesis. 2. Data dikelompokan ke dalam distribusi frekuensi. 3. Menentukan proporsi ke-j (Pj). 4. Menentukan 100 Pj yaitu persentase luas interval ke-j dari suatu distribusi normal melalui transformasi ke skor baku z_i =   5. Menghitung nilai ᵪ² hitung melalui rumus:   6. Menghitung nilai ᵪ² _tabel  pada derajat bebas (db) = k -3, di mana k banyaknya kelompok. 7. Kriteria pengujian: a. Jika ᵪ²  ≤ ᵪ² _tabel  maka H₀ diterima; b. Jika ᵪ²  > ᵪ² _tabel  maka H₀ ditolak.

Evaluasi Mandiri

1. Apa tujuan dilakukan uji persyaratan analisis dan untuk apa dilakukan uji normalitas !
2. Apa perbedaan uji normalitas data dengan uji Lilliefors dan uji Chi-Square !
3. Untuk apa dilakukan uji homogenitas dan apa perbedaan uji homogenitas dengan uji Fisher (uji-F) dan uji Bartlett !
4. Jelaskan tiga pengertian homogentitas dan homogenitas mana yang berkaitan dengan teknik analisis statistik !
5. Pada hipotesis tentang perbandingan, misalnya perbandingan rata-rata hasil belajar Matematika antara dua kelompok, maka uji homogenitas perlu dilakukan. Mengapa !
6. Periksa apakah data berikut berdistribusi normal dan mempunyai varians yang homogen!

7. Efektivitas empat metode mengajar, yaitu Inquiri (A1), Penemuan (A2), Pemecahan Masalah (A3) dan Drill (A4) terlihat dari skor hasil belajar Matematika keempat kelompok yang diberi metode tersebut selama tiga bulan. Data hasil belajar Matematika disajikan sebagai berikut:

1. Lakukan pengujian normalitas data (A1, A2, A3, dan A4) dengan cara: Lilliefors, Kolmogorof-Smirnof, dan Chi-Square.
2. Lakukan pengujian homogenitas dengan menggunakan cara: Bartlett dan uji F_maks
3. Data penelitian tentang kecemasan Matematika (X) dan kemampuan komunikasi Matematika (Y) disajikan pada tabel berikut.

Lakukan pengujian normalitas galat taksiran dan homogenitas varians galat data kemampuan komunikasi Matematika (Y) atas kecemasan Matematika (X).

9. Diberikan data hasil pengamatan sebagai berikut :

Dari data di atas lakukanlah :

1. Uji normalitas data masing-masing kelompok data (X₁, X₂, dan X₃) dengan uji Lilliefors.
2. Uji homogenitas dari ketiga kelompok data di atas dengan uji Bartlett.

10. Diperoleh data hasil penelitian dengan judul : Pengaruh kemampuan kognitif konsep phytagoras terhadap hasil belajar trigonometri dari 40 responden melalui tes tertulis yang disusun dalam tabel distribusi frekuensi sebagai berikut:

Distribusi kemampuan kognitif konsep phytagoras

Distribusi hasil belajar trigonometri

Dari kedua data tersebut lakukanlah uji normalitas data masing-masing variabel di atas dengan uji Chi-Kuadrat.

Tanpa kegigihan maka proses perjuangan hidup akan terputus di tengah jalan, karena tantangan yang muncul lebih banyak menawarkan alasan menghentikan perjuangan.

Charles F. Kettering