DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

BAB VIII

DISTRIBUSI PELUANG DISKRIT

Orang-orang sukses memakai kekuatan kedisiplinan pribadi dalam memperbaiki tingkat kehidupan agar hidup mereka menjadi lebih baik lagi. Juga untuk memperbaiki penghasilan mereka dan meningkatkan kesehatan mereka dengan cara yang tepat.

Dr. Ibrahim Elfiky

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pemahaman distribusi teoretis, distribusi seragam, distribusi binomial, rata-rata dan ragam distribusi binomial, distribusi multinomial, distribusi binomial negatif, distribusi geometrik, distribusi hipergeometrik, nilai dan rata-rata distribusi hipergeometrik, distribusi hipergeometrik peubah ganda, dan distribusi Poisson.

• Pendahuluan

Distribusi peluang dapat digolongkan menjadi dua kelompok besar yaitu distribusi peluang peubah (variabel) acak yang bersifat diskrit dan distribusi peluang yang bersifat kontinu. Distribusi teoretis merupakan alat bagi kita untuk menentukan apa yang dapat kita harapkan, apabila asumsi-asumsi yang kita buat benar. Distribusi frekuensi dapat digunakan sebagai dasar pembanding dari suatu hasil observasi atau eksperimen dan sering juga digunakan sebagai pengganti distribusi sebenarnya. Hal ini penting sekali karena distribusi sebenarnya yang harus diperoleh melalui eksperimen umumnya selain sangat mahal juga karena sesuatu hal seringkali tidak dapat dilakukan. Distribusi teoretis memungkinkan para pembuat keputusan untuk memperoleh dasar logika yang kuat di dalam keputusan, dan sangat berguna sebagai dasar pembuatan ramalan berdasarkan informasi yang terbatas atau pertimbangan-pertimbangan teoretis, dan berguna pula untuk menghitung probabilitas terjadinya suatu peristiwa.

Pengertian mengenai beberapa distribusi yang utama akan meningkatkan kemampuan seseorang untuk membaca atau mengartikan hasil karya ilmiah hampir di semua bidang ilmu pengetahuan. Setiap kejadian yang dapat dinyatakan sebagai perubahan nilai suatu variabel, umumnya mengikuti distribusi teoretis tertentu dan apabila sudah ketahuan jenis distribusinya kita dengan mudah dapat mengetahui besarnya nilai probabilitas terjadinya kejadian tersebut. Beberapa distribusi teoretis yang akan dibahas dalam bab ini, antara lain Distribusi seragam, Distribusi Binomial, Distribusi Hipergeometrik, Distribusi Multinomial, Distribusi Poisson yang merupakan distribusi peubah acak yang bersifat diskrit. Sedangkan distribusi kontinu terdiri atas distribusi normal, distribusi student dan Chi-Kuadrat.

• Distribusi Seragam

Distribusi seragam (uniformly distribution) merupakan distribusi probabilitas yang paling sederhana di antara distribusi-distribusi probabilitas yang lain. Dalam distribusi ini, setiap nilai peubah acak mempunyai probabilitas terjadi yang sama. Distribusi seragam dapat pula didefinisikan, bila peubah acak X mempunyai nilai-nilai  dengan probabilitas yang sama, maka distribusi seragam diskret dinyatakan sebagai:

Kita menggunakan notasi  alih-alih p(x) untuk menunjukkan bahwa distribusi seragam bergantung pada parameter k.

Contoh 1.

Sebuah dadu setimbang dilemparkan sekali. Bila x menyatakan mata dadu yang muncul, buatlah distribusi probabilitas x.

Jawab

Ruang contoh  dan setiap mata dadu mempunyai probabilitas yang sama untuk muncul yaitu 1/6. Dengan demikian distribusi seragamnya adalah:

Contoh 2.

Tim bulutangkis terdiri 8 orang. Bila dari tim tersebut dipilih 2 orang secara acak untuk melakukan pertandingan, tentukan distribusi seragam yang diambil secara acak tersebut.

Jawab

Jumlah dalam satu tim 8 orang, maka kita mengambil 2 orang secara acak dalam  orang. Bila cara masing-masing diberi nomor 1 sampai 28, maka distribusi probabilitasnya adalah:

• Distribusi Binomial

Beberapa percobaan seringkali terdiri atas ulangan-ulangan yang mempunyai dua kejadian yaitu berhasil atau gagal. Percobaan ini merupakan percobaan dengan pemulihan (with replacement) yaitu setiap cuplikan yang telah diamati dimasukkan kembali dalam populasi semula. Populasi setelah pencuplikan tetap sama. Artinya susunan anggota populasi dan nisbah setelah pencuplikan tidak pernah berubah. Seorang petugas pengendalian mutu ingin menghitung probabilitas untuk mendapatkan 4 bola lampu yang rusak dari suatu sampel acak sebanyak 20 bola lampu, apabila diketahui bahwa 10% dari bola lampu tersebut rusak. Nilai probabilitas ini dapat diperoleh dari tabel Binomial yang dibuat berdasarkan distribusi Binomial (Supranto, 2006).

Percobaan-percobaan pada distribusi binomial bersifat bebas dan probabilitas keberhasilan setiap ulangan tetap sama. Distribusi binomial merupakan suatu distribusi probabilitas peubah acak yang bersifat diskret. Distribusi ini sering disebut dengan proses Bernoulli (Bernoulli trials). Nama ini diambil dari seorang ahli matematika berkebangsaan Swiss yaitu James Bernoulli (1654-1705). Pada umumnya suatu eksperimen atau percobaan dapat dikatakan eksperimen atau percobaan Binomial apabil mempunyai beberapa syarat sebagai berikut:

1. Setiap percobaan selalu dibedakan 2 macam kejadian yang bersifat saling meniadakan (mutually exclusive).
2. Dalam setiap percobaan hasilnya dapat dibedakan: berhasil atau gagal.
3. Probabilitas kejadian berhasil dinyatakan dengan huruf p, sedangkan probabilitas gagal dinyatakan dengan huruf q di mana p+q=1 atau q=1-p.
4. Masing-masing percobaan merupakan peristiwa yang bersifat bebas yaitu peristiwa yang satu tidak dapat mempengaruhi peristiwa yang lain.

Misalnya keluarga Markus merencanakan memiliki 3 anak seperti yang terlihat pada tabel 8.1. Disini setiap kelahiran anak laki-laki dikatakan “berhasil” dan setiap kelahiran anak perempuan dikatakan “gagal”. Dengan demikian banyaknya anak laki-laki dipandang sebagai sebuah peubah acak X yang mengambil bilangan 0 sampai 3. Peubah acak X yang menyatakan banyaknya keberhasilan dalam setiap percobaan disebut peubah acak binomial.

Tabel 8.1. Hasil Percobaan Keluarga Markus.

Selanjutnya akan kita generalisasi ilustrasi keluarga Markus di atas dengan mencari rumusan yang lebih umum dari distribusi binomial. Bila kelahiran anak laki-laki dinyatakan x, maka probabilitas kelahiran anak laki-laki mempunyai nilai yang tetap yaitu ½. Probabilitas kelahiran anak laki-laki dipandang berhasil adalah x dengan probabilitas p dan sebaliknya setiap kegagalan berupa kelahiran anak perempuan adalah  dengan probabilitas q = 1 – p. dengan demikian probabilitas untuk urutan tertentu dinyatakan .

            Sekarang tinggal menghitung banyaknya kombinasi yang mempunyai keberhasilan x dan kegagalan (n – x). bilangan ini tidak lain adalah suatu bentuk kombinasi. Selanjutnya banyak kombinasi ini dikalikan dengan  untuk mendapatkan rumus umum distribusi binomial. Dengan kata lain, jika suatu percobaan binomial mempunyai probabilitas keberhasilan p dan probabilitas kegagalan q, maka distribusi probabilitas peubah acak X yaitu banyaknya keberhasilan dalam n percobaan yang bebas dinyatakan:

Dengan x = 0, 1, 2, …., n

Tabel 8.2. Koefisien Probabilitas Distribusi Binomial.

Misalkan probabilitas keluarga Markus dengan 2 anak laki-laki dari 3 anak yang dimiliki, di sini besarnya probabilitasnya adalah:

Perumusan tersebut dapat dirangkum dalam bentuk tabel probabilitas binomial bagi peubah acak X yang memuat kombinasi yang mungkin terjadi. Angka-angka distribusi binomial b(x: n: p) dapat dilihat pada Lampiran.

Nilai rata-rata dan varian distribusi binomial pada dasarnya ditentukan oleh berbagai macam peristiwa yang dihasilkan dari percobaan binomial, terutama probabilitas keberhasilan atau kegagalannya. Misalkan hasil percobaan ke-n dinyatakan peubah acak L_n dengan probabilitas p keberhasilan L_n = 1 dan probabilitas q kegagalan L_n = 0. Suatu percobaan binomial banyaknya keberhasilan dituliskan sebagai jumlah n peubah acak bebas:

Nilai harapan setiap L_n adalah E(L_n) = 1.(p) + 0.(q) = p, sehingga rata-rata suatu populasi distribusi binomial dapat dinyatakan sebagai perkalian n percobaan dengan probabilitas keberhasilan dirumuskan sebagai berikut:

Sementara besarnya ragam distribusi binomial dapat dicari dari hubungan berikut. Ragam populasi untuk setiap L_i adalah:

Dengan demikian total ragam populasi distribusi binomial dirumuskan sebagai berikut:

 = p.q + p.q + ……= n p q

Dan simpangan bakunya dirumuskan sebagai berikut:

Contoh 3.

Keluarga Markus merencanakan memiliki 3 anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki: (a). Hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki, (b). Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki dan (c). Hitunglah rata-rata dan simpangan baku peubah acak X.

Jawab

Probabilitas kelahiran anak laki-laki sama dengan perempuan p = q = 0,5 dan n = 3.

1. Probabilitas lahir 2 anak laki-laki

1. Tidak lebih dari 2 anak laki-laki

Dapat juga diselesaikan dengan bantuan tabel distribusi binomial.

1. Rata-rata, ragam dan simpangan baku kelahiran anak laki-laki.

Rata-rata,  dengan n = 3 dan p = 0,5

Simpangan baku,

Jadi, dalam kelahiran 3 anak, rata-rata anak laki-laki yang dilahirkan adalah 1,5 dengan simpangan baku sebesar 0,866.

Contoh 4.

Menurut penelitian, probabilitas seseorang untuk sembuh dari penyakit anthrax yang diberi obat tertentu sebesar 60%. Jika diambil 10 orang yang terjangkit penyakit secara acak, hitunglah probabilitas (a). Tidak lebih dari 3 orang sembuh, (b). Sedikitnya 5 orang sembuh dan (c). Hitunglah rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh (n = 10, p = 0,6 dan q = 0,4).

Jawab

1. Tidak lebih dari 3 orang dapat sembuh.
2. Sedikitnya 5 orang dapat sembuh.
3. Rata-rata, ragam dan simpangan baku pasien dapat sembuh.

Rata-rata,

Simpangan baku,

Contoh 6.

Suatu ujian Statistik Lanjutan terdiri atas 10 nomor soal pilihan ganda. Hitunglah probabilitas bahwa seorang mahasiswa menjawab dengan cara menebak-nebak saja memperoleh: (a). Tepat 7 jawaban benar, (b). Lebih dari 6 jawaban yang benar dan (c). Ada 2 – 8 jawaban yang benar.

Jawab

Diketahui, p = 0,25 (pilihan ganda dengan 4 kemungkinan)

1. Tepat 7 jawaban benar.
2. Lebih dari 6 jawaban benar
3. Ada 2 – 8 jawaban yang benar.
   • Distribusi Multinomial

Bila suatu percobaan binomial terhadap ulangannya menghasilkan lebih dari dua kemungkinan seperti misalnya berhasil, “nyaris berhasil” atau gagal, maka percobaan itu menjadi percobaan multinomial. Dengan kata lain, bila pada distribusi binomial hasil sebuah percobaan hanya dikategorikan dua macam yaitu berhasil atau gagal, maka dalam distribusi multinomial, sebuah percobaan akan menghasilkan beberapa kejadian (lebih dari dua) yang saling meniadakan atau saling lepas (mutually exclusive).

 Sebagai contoh peristiwa keadaan cuaca dapat digolongkan menjadi cerah, hujan atau mendung. Alternatif berkendaraan menuju kantor dapat dilakukan dengan membawa mobil sendiri, naik bus, kereta api, angkot bahkan ojek. Seluruhnya merupakan ulangan-ulangan yang menghasilkan lebih dari dua kemungkinan. Secara umum bila setiap ulangan dapat menghasilkan satu di antara k kemungkinan hasil percobaan E₁, E₂, …, E_k kali kejadian E_k dalam n ulangan yang bebas dengan  …. Sedangkan banyaknya sekatan n elemen ke dalam k kelompok dengan x₁ dalam kelompok pertama, x₂ dalam kelompok dua, …. dan x_k dalam kelompok ke-k merupakan suatu permutasi dari n elemen yang seluruhnya tidak dapat dibedakan. Dengan demikian probabilitas distribusi multinomial dapat dirumuskan secara matematik dengan persamaan sebagai berikut:

dengan probabilitas suku-suku pengurai multinomial p₁ + p₂ + …. + p_k = 1.

Contoh 7.

Dalam pemilu legislatif, para konsituen mempunyai pilihan mencoblos 3 partai politik dengan probabilitas pilihan yaitu Partai Amanat Nasional 0,50, Partai Demokrat 0,30 dan Partai Golkar 0,20. Berapa probabilitas bahwa di antara 10 konstituen sebanyak 4 konstituen memilih PAN, 3 konstituen memilih PD dan 3 konstituen milih PG.

Jawab

Kita daftar kejadian yang mungkin ⟶     E₁ : 4 konstituen memilih PAN

                                                                    E₂ : 3 konstituen memilih PD

                                                                    E₃ : 3 konstituen memilih PG

Setiap ulangan dengan probabilitas masing-masing p₁ = 0,5 p₂ = 0,3 dan p₃ = 0,2. Oleh karena x₁ = 4, x₂ = 2 dan x₃ = 3, maka distribusi multinomial adalah

Contoh 8.

Menurut Model suatu persilangan kacang buncis Mm x Mm menghasilkan keturunan berwarna merah, pink dan putih dengan perbandingan 1 : 2 : 1. Hitunglah probabilitas di antara 6 keturunan kacang buncis ada 1 berwarna merah (MM), 3 warna pink (Mm) dan 2 warna putih (mm).

Jawab

Hasil persilangan dengan perbandingan MM : Mm : mm = 1 : 2 : 1

Probabilitas warna merah MM,          p1 = ¼ dengan x1 = 1

Probabilitas warna pink Mm,  p2 = ½ dengan x2 = 3

Probabilitas warna putih mm, p3 = ¼ dengan x3 = 2

• Distribusi Binomial Negatif

Seperti yang dijelaskan pada subbab sebelumnya, distribusi binomial merupakan percobaan yang terdiri atas ulangan-ulangan dengan pemulihan yang mempunyai dua kemungkinan. Sekarang marilah kita perluas lagi dengan suatu percobaan yang mirip dengan binomial tetapi pengulangan dilakukan terus-menerus sampai terjadi sejumlah keberhasilan tertentu. Jadi, alih-alih menentukan probabilitas sebanyak x keberhasilan dalam n ulangan yang ditetapkan sebelumnya. Distribusi probabilitas semacam ini dikenal sebagai distribusi binomial negatif yang dinotasikan b*(x:n:p).

            Misalkan hasil survei tentang perilaku seks mahasiswa di kota Praha disimpulkan bahwa sekitar 70% para mahasiswi di kota tersebut pernah melakukan hubungan seksual di luar nikah. Di sini kita ingin mengetahui berapa probabilitas bahwa mahasiswi yang kedelapan yang diwawancarai merupakan mahasiswi yang kelima yang pernah melakukan hubungan seks. Dalam pengamatan ini yang pernah melakukan hubungan seks  akan disebut sebagai keberhasilan H dan sebaliknya merupakan kegagalan G. Banyaknya kombinasi urutan-urutannya adalah C(7,4) = 35. Semua urutan dapat disusun kembali kecuali untuk hasil yang terakhir. Salah satu kemungkinan yang terjadi adalah H₁-G-H₂-H₃-G-H₄-G-H₅.

            Bila X menyatakan banyaknya ulangan yang menghasilkan x keberhasilan, maka probabilitas terjadinya keberhasilan pada ulangan bebas ke-n yang didahului oleh n – 1 keberhasilan dan n – x kegagalan, maka distribusi peubah acak X merupakan banyaknya ulangan sampai terjadinya x keberhasilan. Akan tetapi karena masing-masing ulangan bebas satu sama lain, perlu dikalikan dengan semua probabilitas p dan kegagalan dengan q = 1 – p. Dengan demikian probabilitas urutannya berakhir pada keberhasilan yaitu p^x q^n-x. Sekarang tinggal menghitung banyaknya kombinasi yang mempunyai keberhasilan x dan kegagalan (n – x). Bilangan ini tidak lain adalah suatu kombinasi .

            Selanjutnya banyak titik kombinasi ini dikalikan dengan p^x.q^n-x untuk mendapatkan rumus umum distribusi binomial negatif. Dengan kata lain, jika suatu percobaan binomial negatif mempunyai probabilitas keberhasilan p dan probabilitas kegagalan q, maka distribusi probabilitas peubah acak X adalah banyaknya ulangan sampi terjadinya x keberhasilan. Sehingga secara matematis distribusi binomial negative dirumuskan sebagai berikut:

Dengan x = n, n+1, n+2

Contoh 9.

Menurut hasil survei tentang perilaku seks mahasiswi di kota New York, sebanyak 70% para mahasiswi pernah melakukan hubungan seksual di luar nikah. Seandainya hasil survei ini benar:

1. Hitunglah probabilitas bahwa mahasiswi kedelapan yang diwawancarai merupakan mahasiswi kelima yang pernah melakukan hubungan seks,
2. Mahasiswi keempat yang diwawancarai adalah mahasiswi kedua yang pernah melakukan hubungan seks.

Jawab

1. Dengan menggunakan distribusi binomial negatif diperoleh probabilitas:

(di sini x = 5, n = 8 dan p = 0,7).

Probabilitas ditemukannya mahasiswi kedelapan yang diwawancarai merupakan mahasiswi kelima yang pernah melakukan hubungan seksual adalah sebesar 15,9%

1. Di sini x = 2, n = 4 dan p = 0,7).

Jadi, probabilitas mahasiswi keempat merupakan mahasiswi kedua yang pernah melakukan hubungan seksual adalah 13,2%.

Contoh 10.

Seorang peneliti tengah menginokulasi beberapa tikus putih dengan menyuntikkan virus yang menyerang metabolism pencernaan sampai ia memperoleh 3 ekor tikus putih yang terserang penyakit tersebut. Bila probabilitas terjangkit penyakit itu adalah 25%, berapa probabilitas bahwa dalam percobaan itu diperlukan 10 ekor tikus.

Jadi, probabilitas diperlukannya 10 ekor tikus putih untuk 3 ekor tikus yang terserang penyakit 7,5%.

Contoh 11.

Menurut hasil penelitian ahli sosiologi, kurang lebih 800 dari 1.000 wanita tidak setuju adanya praktek poligami yang dilakukan para suami. Bila hasil penelitian ini benar, hitunglah probabilitas bahwa pada suatu hari tertentu, wanita keempat yang diwawancarai adalah wanita keempat yang tidak setuju poligami.

Jawab

Jadi, probabilitas sebesar 41% bila wanita keempat yang diwawancarai merupakan wanita keempat yang tidak setuju poligami.

• Distribusi Geometrik

Distribusi binomial negatif dapat didefinisikan menjadi distribusi geometrik, bila x yang menyatakan banyaknya ulangan yang diperlukan telah mencapai satu keberhasilan (x = 1). Misalkan saja pada kasus poligami, sampai munculnya wanita yang tidak setuju adanya poligami. Mungkin kita ingin mengetahui probabilitas bahwa wanita yang tidak setuju poligami muncul pada wawancara yang keempat. Dengan demikian distribusi binomial negatifnya akan tereduksi menjadi b*(1:n:p) atau g(n:p).

            Distribusi geometrik dapat didefinisikan bila percobaan bebas dan berulang-ulang yang dapat menghasilkan keberhasilan dengan probabilitas p dan kegagalan dengan probabilitas q = 1 – p, distribusi probabilitas bagi peubah acak X yaitu banyaknya ulangan sampai muncul keberhasilan yang pertama dinyatakan:

            g (n:p) = p q^n-1                                                                                   

Contoh 12.

Dari contoh soal 11, hitunglah:

1. Probabilitas bahwa seorang sosiologi memerlukan 3 orang wanita sampai diperoleh wanita yang tidak setuju poligami,
2. Ulangi butir (a) bila n = 5.

Jawab

1. Dengan menggunakan distribusi geometrik dengan n = 3 dan p =

g  

1. Di sini n = 5 dan p =

g  

• Distribusi Hipergeometrik

Distribusi hipergeometrik merupakan distribusi data diskrit. Probabilitas suatu peristiwa pada percobaan yang akan menghasilkan dua macam peristiwa dependen menghasilkan probabilitas peristiwa yang berbeda pada setiap percobaan. Kondisi ini biasanya terdapat pada percobaan yang dilakukan tanpa pengembalian dengan populasi yang terbatas.  Dengan kata lain, distribusi hipergeometrik merupakan bentuk probabilitas tanpa pengembalian (without replacement) yaitu setiap pencuplikan data yang telah diamati tidak dimasukkan kembali dalam populasi semula (Algifari, 2010).

            Misalnya pada suatu kotak yang berisi 10 buah kelereng, yakni 4 buah kelereng berwarna merah dan 6 buah kelereng berwarna putih. Apabila diambil satu buah kelereng secara acak (random), probabilitas terambil kelereng warna merah adalah 4/10. Apabila dilakukan pengambilan lagi terhadap kelereng yang ada di dalam kotak dan kelereng yang terambil pada pengambilan pertama tidak dikembalikan, maka probabilitas terambil masing-masing kelereng warna merah dan probabilitas kelereng warna putih akan berubah. Misalnya pada pengambilan pertama terambil kelereng warna merah, maka probabilitas terambil kelereng warna merah pada pengambilan kedua adalah 3/9 dan probabilitas terambil warna putih adalah 6/9. Probabilitas masing-masing terambil kelereng warna merah atau probabilitas terambil kelereng warna putih setiap kali pengambilan akan berbeda-beda pada proses pengambilan tanpa pengembalian.          

Bila suatu populasi berukuran N terdiri atas k unsur yang diharapkan muncul (berhasil) dan (N-k) unsur yang tidak muncul (gagal), maka pencuplikan n contoh dari populasi berukuran N, probabilitas mendapatkan x yang diharapkan mengikuti fungsi hipergeometrik. Di sini semua pengambilan contoh dianggap mempunyai probabilitas terpilih yang sama dan banyaknya kombinasi yang berukuran n dari suatu populasi berukuran N adalah . Analog dengan ini adalah untuk memilih x keberhasilan dari k keberhasilan yang tersedia terdapat  macam kombinasi. Sedangkan banyaknya kombinasi kegagalan dari (n – k) adalah . Dengan demikian, banyaknya contoh yang memenuhi syarat di antara kombinasi  adalah .

            Definisi secara umum distribusi probabilitas hipergeometrik bagi peubah acak X adalah bila dari populasi berukuran N yang dapat digolongkan yaitu kelompok keberhasilan dan kelompok gagal masing-masing dengan k dan N – k unsur, dipilih sebanyak n, maka distribusi probabilitas peubah acak X yang menyatakan banyaknya kejadian berhasil yang terpilih adalah:

Dengan            x = 0, 1, 2, 3…n

• Nilai Rata-Rata dan Varian Distribusi Hipergeometrik

Nilai rata-rata distribusi hipergeometrik merupakan hasil kali contoh berukuran n dengan k keberhasilan dibagi dengan N populasinya. Secara matematis dirumuskan sebagai:

Rasio k/N pada persamaan 3.10 setara nilainya dengan probabilitas keberhasilan p, sehingga nilai rata-rata dibagi distribusi hipergeometrik dinyatakan dalam persamaan berikut:

Dan varian bagi distribusi hipergeometrik h(x:N:n:k) adalah:

Bila n relatif sangat kecil dibandingkan dengan N, maka probabilitas pada pengambilan akan kecil sekali. Sehingga dapat dikatakan bahwa percobaan menjadi percobaan binomial. Artinya kita dapat menghampiri distribusi hipergeometrik dengan menggunakan distribusi binomial rasio p = k/N.

Dapat dikatakan bahwa pengambilan contoh tanpa pemulihan dapat dianggap sebagai pengambilan contoh dengan pemulihan asalkan ukuran populasi N sangat besar. Atas dasar ini, maka semua perhitungan dapat dilakukan “seolah-olah” contoh diambil dengan pemulihan.

Contoh 13.

Sebuah kantong plastik berisi 5 kelereng merah dan 4 kelereng biru kemudian diambil 3 kelereng tanpa pemulihan. Bila X menyatakan banyaknya kelereng merah yang diambil, susunlah fungsi dan distribusi probabilitas hipergeometriknya.

Jawab

Diketahui: N = 9, N-k = 4, n = 3 dan k = 5. Dengan menggunakan persamaan 3.9 diperoleh:

Semua kemungkinan peubah acak X berikut probabilitasnya dapat disusun dalam tabel distribusi berikut ini:

Tabel 8.3. Distribusi sebaran hipergeometrik

Jadi, fungsi distribusi hipergeometrik  untuk x = 0, 1, 2, 3

Contoh 14.

Sebanyak 6 kartu diambil secara acak dari setengah kartu bridge (warna merah). Hitunglah probabilitas diperoleh 4 kartu wajik.

Jawab

Dengan menggunakan distribusi hipergeometrik untuk n = 6 kartu diambil dari populasi N = 26 kartu. Banyaknya kartu wajik k = 13 dan x = 4. Maka probabilitas memperoleh 4 kartu wajik dari 6 kartu yang diambil adalah:

Contoh 15.

Seorang satpam di suatu diskotik memeriksa secara acak 3 kartu identitas dari 8 pengunjung di mana 2 di antaranya belum cukup umum (belum genap 17 tahun). Berapa probabilitas bahwa satpam akan menolak 2 pengunjuk yang ketahuan belum cukup umur.

Jawab

Diketahui: N = 8, x = k = 2 dan n = 3. Jadi,

Contoh 16.

Sebuah tim penelitian beranggotakan 6 orang yang dipilih dari 10 orang yang terdiri dari 6 orang laki-laki dan 4 orang wanita. Bila X menyatakan banyaknya wanita yang terpilih sebagai anggota tim peneliti (a). Hitunglah rata-rata dan ragam wanita dalam tim tersebut, (b). Tidak lebih dari 2 orang wanita dan (c). Tuliskan rumus bagi distribusi peubah acak X.

Jawab

1. Diketahui N = 10, n = 6, dan k = 4:
2. Tidak lebih dari 2 orang wanita

X = 1 h(1:10:6:4)

X = 2 h(2:10:6:4)

Jadi, anggota tidak lebih dari 2 wanita adalah

1. Fungsi distribusi hipergeometrik

Contoh 17.

Hasil survei litbang media massa menyimpulkan bahwa 8.000 dari 10.000 orang tidak menyetujui kenaikan harga BBM menjelang Tahun Baru 2005. Bila 9 orang dari masyarakat diambil secara acak dan diwawancarai, berapa probabilitas: (a). Ada 3 orang yang menolak kenaikan BBM, (b). Paling tidak 6 orang yang menolak kenaikan BBM, (c). Kurang dari 4 orang yang menyetujui kenaikan BBM.

Jawab

Ukuran populasi N = 10.000 relatif sangat besar dibandingkan ukuran contoh n = 9. Untuk itu distribusi hipergeometrik akan dihampiri dengan distribusi binomial. Probabilitas orang yang tidak setuju kenaikan BBM adalah 0,80 sehingga:

1. Tepat 3 orang menolak kenaikan BBM
2. Paling tidak 6 orang menolak kenaikan BBM
3. Kurang dari 3 orang setuju kenaikan BBM (p = 0,2)
   • Distribusi Hipergeometrik Peubah Ganda

Distribusi hipergeometrik dapat diperluas lagi dengan apa yang disebut distribusi hipergeometrik peubah ganda yaitu bila suatu populasi yang beranggotakan N disekat menjadi ke sel A₁, A₂, …., A_k dengan jumlah anggota masing-masing sel a₁, a₂, …, a_k. Bila contoh acak berukuran n dapat digolongkan menjadi unsur-unsur dari kelompok A₁, A₂, …., A_k dengan anggota masing-masing a₁, a₂, …, a_k, maka distribusi probabilitas bagi peubah acak X₁, X₂, …, X_k adalah (Wibisono, 2007):

dengan X₁ + X₂ + …+ X_k = n dan a₁ + a₂ + …+ a_k = N

Contoh 18.

Sebuah kantong berisi 9 kelereng yang terdiri 4 merah, 2 biru dan 3 kuning. Tentukan fungsi probabilitas hipergeometrik terpilihnya 1 kelereng merah dan 1 biru.

Jawab

Dengan menggunakan hipergeometrik peubah ganda x = 1, y = 1, N = 9, n = 5, a₁ = 4 dan a₂ = 2, maka fungsi probabilitas terpilihnya kelereng merah (X) dan kelereng biru (Y) dapat dinyatakan dalam probabilitas bersama yaitu:

Contoh 19.

Sebuah tas berisi 5 pensil hijau, 2 pensil biru dan 4 pensil merah. Bila 4 pensil diambil secara acak, hitunglah: (a). Probabilitas terambilnya 2 pensil hijau dan sekurang-kurangnya 1pensil biru dan (b). Terdapat 1 pensil hijauh, 1 pensil biru, 2 pensil merah.

Jawab

1. Probabilitas terpilihnya 2 pensil hijau (X) dan sekurang-kurangnya 1 pensil biru (Y) dapat dinyatakan dalam probabilitas bersama yaitu:
2. Terdiri, 1 pensil hijau, 1 pensil biru, 2 pensil merah
   • Distribusi Poisson

Kita dapat menghitung distribusi probabilitas binomial untuk percobaan dengan probabilitas sukses atau berhasil kurang dari 0,05. Namun perhitungan tersebut akan sangat tidak efektif dan akurat (khususnya untuk n yang sangat besar, misalnya 100 atau lebih). Semakin kecil probabilitas sukses, distribusi probabilitasnya akan semakin melenceng. Oleh karena itu, dikembangkan satu bentuk distribusi binomial yang mampu mengkalkulasikan distribusi probabilitas dengan kemungkinan sukses atau berhasil sangat kecil dan jumlah eksperimen (n) sangat besar, yang disebut distribusi Poisson (Haryono, 2009).

Oleh karena itu penggunaan distribusi Poisson sangat membantu untuk menghitung probabilitas pada percobaan dengan n relatif besar.  Distribusi Poisson merupakan distribusi peubah acak di mana hasil percobaan terjadi selama waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Distribusi ini secara luas sering dipakai terutama dalam proses simulasi. Misalnya banyaknya dering telpon dalam satu jam di suatu kantor, banyaknya kesalahan ketik dalam satu halaman laporan dan sebagainya.

Menurut Benson (2008), percobaan Poisson memiliki ciri-ciri sebagai berikut:

1. Banyak hasil percobaan yang terjadi pada suatu selang tertentu atau daerah tertentu tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan pada selang waktu atau daerah lain.
2. Probabilitas terjadinya satu hasil percobaan selama selang waktu tertentu yang singkat sekali atau daerah lain yang kecil, sebanding dengan panjang selang waktu atau daerah lain, juga tidak bergantung pada banyaknya hasil percobaan yang terjadi di luar selang waktu atau daerah lain.
3. Probabilitas bahwa lebih dari satu hasil percobaan akan terjadi dalam selang waktu yang singkat atau daerah kecil dapat diabaikan.

Perhatikan bentuk umum probabilitas binomial:

Oleh karena rata-rata distribusi binomial adalah  atau , dengan mengatur kembali suku-suku ruas kanan, selanjutnya:

Pada n = , limit suku-suku dalam kurung bawah sama dengan satu. Selanjutnya dicari suku terakhir pada ruas kanan yaitu:

Untuk percobaan n yang cukup besar, distribusi binomial akan menjadi distribusi Poisson yang sering dituliskan p(X, ). Tabel distribusi Poisson dapat dilihat pada Lampiran. Nilai-nilai probabilitas distribusi Poisson hanya bergantung pada parameter , yaitu rata-rata banyaknya hasil percobaan yang terjadi selama selang waktu tertentu atau daerah lain yang diberikan. Dengan demikian rumus umum distribusi Poisson adalah:

Keterangan:

 =  probabilitas x dengan µ tertentu

µ          =  banyaknya sukses yang diharapkan

e          =  suatu konstanta matematis yang nilainya mendekati 2,71828

x          =  banyaknya sukses setiap unit

Distribusi Poisson merupakan turunan langsung dari distribusi binomial bila jumlah percobaan lebih dari 20 amatan dan probabilitas . Dalam hal demikian rata-rata binomial akan diganti dengan rata-rata Poisson.

Contoh 20.

Rata-rata banyaknya tikus per hektar yang menyerang tanaman padi sebanyak 8 ekor. Hitunglah probabilitas bahwa dalam 1 hektar terdapat lebih dari 13 ekor tikus.

Jawab

Bila X menyatakan banyaknya tikus per hektar tanaman padi, maka probabilitas lebih dari 13 ekor tikus per hektarnya adalah:

Contoh 21.

Polisi Resort Bumiayu mencatat rata-rata tertangkap 5 orang tertangkap kasus psikotropika setiap bulan. Hitunglah probabilitas bahwa pada suatu bulan tertentu yang ditangkap karena menggunakan obat-obatan terlarang adalah: (a). Tepat 5 orang, (b). Kurang dari 5 orang, (c). Antara 5 – 9 orang.

Jawab

1. Tepat 5 orang pelaku.
2. Kurang dari 5 orang pelaku.
3. Antara 5 – 9 orang pelaku

Contoh 22.

Secara rata-rata 4 dari 100 orang penduduk Indonesia usia di atas 45 tahun terkena penyakit kencing manis. Hitunglah probabilitas dari 250 orang terdapat: (a). Ada 6 orang yang mengidap kencing manis, (b) Lebih dari 8 orang yang mengidap kencing manis.

Jawab

Percobaan ini sesungguhnya adalah percobaan binomial dengan N = 300 dan p = 0,04. Oleh karena nilai p sangat kecil dan n cukup besar maka perhitungan akan diselesaikan dengan menggunakan distribusi Poisson.

Rata-rata  = n.p (250) (0,04) = 10

1. Tepat 6 orang mengidap kencing manis
2. Lebih dari 8 orang pengidap kencing manis

Rangkuman

Distribusi seragam merupakan distribusi probabilitas yang paling sederhana, di mana setiap nilai peubah acak mempunyai probabilitas terjadi yang sama. Distribusi binomial merupakan distribusi teoretis yang menggunakan variabel random diskrit yang terdiri dari dua kejadian yang berkomplemen, seperti baik-tidak baik, atas-bawah, kanan-kiri dan sebagainya. Ciri-ciri distribusi binomial adalah : setiap percobaan memiliki dua peristiwa; peluang terjadinya suatu peristiwa adalah tetap; percobaan bersifat terpisah, tidak mempengaruhi atau dipengaruhi peristiwa dalam percobaan lainnya. Distribusi multinomial merupakan suatu percobaan yang akan menghasilkan beberapa kejadian atau lebih dari dua yang saling lepas atau saling meniadakan.

Distribusi binomial negatif merupakan percobaan yang mirip dengan distribusi binomial tetapi pengulangan dilakukan terus-menerus sampai terjadi sejumlah keberhasilan tertentu. Distribusi hipergeometrik merupakan bentuk probabilitas tanpa pengembalian, yaitu setiap pencuplikan data yang telah diamati tidak dimasukkan kembali dalam populasi semula. Distribusi poisson  merupakan distribusi peubah acak di mana hasil percobaan terjadi selama waktu tertentu atau di suatu daerah tertentu. Pada distribusi Poisson dihasilkan dari percobaan yang terjadi dalam suatu interval waktu atau tempat tertentu. Distribusi Poisson memiliki ciri-ciri: dihasilkan dari percobaan yang dibatasi waktu atau tempat tertentu; percobaan yang diambil dari dua waktu berbeda, sifatnya harus terpisah, artinya hasil percobaan pada suatu selang waktu dan tempat yang lain yang terpisah; peluang terjadinya suatu hasil percobaan bergantung pada panjang selang waktu dan luas tempat percobaan terjadi. Rumus-rumus yang digunakan untuk menghitung distribusi peluang diskrit adalah sebagai berikut:

1. Perumusan distribusi seragam:

2. Perumusan distribusi binomial:
3. Perumusan rata-rata dan simpangan baku distribusi binomial:

        dan            

4. Perumusan distribusi multinomial:
5. Perumusan distribusi binomial negatif:
6. Perumusan distribusi hipergeometrik:
7. Perumusan rata-rata dan simpangan baku distribusi hipergeometrik :
8. Perumusan hipergeometrik peubah ganda :
9. Perumusan distribusi poisson :

Evaluasi Mandiri

1. Satu tim bulutangkis terdiri dari 10 orang. Bila dari tim tersebut dipilih 3 orang secara acak untuk melakukan pertandingan, tentukan distribusi seragam yang diambil secara acak tersebut.
2. Suatu keluarga merencanakan memiliki empat anak. Bila X menyatakan banyaknya kelahiran anak laki-laki dengan probabilitas kelahiran 0,60.
3. Hitunglah probabilitas kelahiran 2 anak laki-laki
4. Probabilitas memiliki tidak lebih dari 2 anak laki-laki
5. Hitunglah rata-rata dan simpangan baku peubah acak X.

Lakukan perhitungan dengan menggunakan distribusi binomial.

3. Hitunglah probabilitas distribusi binomial data-data berikut ini:
4. p = 0,7 n = 7                X > 4
5. p = 0,5 n = 5                2 < X  5
6. p = 0,6 n = 8                X < 5
7. p = 0,2 n = 9                1  X < 7
8. Probabilitas seorang sembuh dari suatu penyakit setelah diberi obat tertentu sebesar 90%. Jika diambil 7 orang yang terjangkit penyakit, hitunglah probabilitas:
9. Tidak lebih dari 6 orang sembuh
10. Sedikitnya 4 orang sembuh
11. Tepat 3 orang sembuh
12. Berapa rata-rata dan simpangan baku pasien sembuh
13. Suatu soal ujian terdiri atas 10 pertanyaan pilihan ganda. Hitunglah probabilitas bahwa murid menjawab dengan cara menebak-nebak saja memperoleh: (a). Tepat 7 jawaban benar, (b). Lebih dari 6 jawaban yang benar dan (c). Ada 2 – 8 jawaban yang benar, (d). Tepat 8 jawaban benar (e). Antara 3 – 7 jawaban benar.
14. Seorang pemegang medali perak memiliki ketepatan memanah tepat sasaran sebesar 70%. Apabila ia diberi 5 anak panah, berapa probabilitas bahwa 4 anak panah tepat mengenai sasaran. Gunakan penyelesaian dengan distribusi binomial.
15. Probabilitas penduduk yang memiliki DVD player diduga sebasar 0,80. Berapa probabilitas bahwa orang ke-8 yang diambil secara acak merupakan orang ke-5 yang diwawancarai yang memiliki DVD player.
16. Probabilitas seseorang percaya adanya alam akhirat (suatu “kehidupan baru” yang akan dialami seluruh umat manusia sesudah kehancuran alam semesta) adalah 0,98. Bila hasil kejian ini benar, hitunglah berapa probabilitas pada hari tertentu, orang ke-11 yang diwawancarai adalah orang ke-9 yang mempercayai adanya Alam Akhirat.
17. Hasil penelitian menunjukkan bahwa 50 dari 1.000 orang tua murid masih setuju mata pelajaran bahasa Jawa diajarkan di SMA. Bila ini benar, berapa probabilitas bahwa orang tua murid ke-10 yang diwawancarai adalah orang tua murid ke-2 yang masih setuju pelajaran bahasa Jawa diajarkan di sekolah.
18. Menurut tesis seorang mahasiswa kedokteran, 75% wanita yang mengalami gangguan kehamilan dan janin disebabkan karena si ibu merokok pada saat hamil. Bila tesis ini benar, hitunglah probabilitas bahwa ibu hamil keempat yang diwawancarai merupakan ibu hamil kedua yang mengalami gangguan kehamilan dan janin.
19. Sebanyak 20 kartu diberi nomor urut dari 1 sampai 20 kemudian diambil 5 kartu secara acak dari tumpukan kartu tersebut. Hitunglah probabilitas diperoleh 4 kartu dengan angka genap. Selesaikan dengan menggunakan distribusi hipergeometrik.
20. Rata-rata banyaknya bajing yang menyerang tanaman jagung per hektarnya 10 ekor. Hitunglah probabilitas bahwa dalam 1 hektar terdapat lebih dari 15 ekor bajing. Selesaikan dengan distribusi Poisson.
21. Hitunglah probabilitas dengan distribusi Poisson data-data berikut ini:
22.              X = 5
23.          2  X < 5
24.         
25. Sebuah merk obat batuk diiklankan di surat kabar. Surat kabar ini memiliki 1.000 pembaca. Jika probabilitas seorang pembaca membalas iklan itu hanya 0,5%.
26. Berapa pembacakah diharapkan akan membalas iklan itu.
27. Berapa probabilitas yang membalas iklan ternyata hanya 2 pembaca.
28. Berapa probabilitas tidak ada yang membalas.
29. Secara rata-rata terjadi 4 kasus kecelakaan di jalan protokol per bulan. Berapa probabilitas pada bulan tertentu terjadi kecelakaan di jalan protokol:
30. Tepat 2 kecelakaan.
31. Tidak terjadi kecelakaan.

Hiduplah setiap saat, seakan menjadi hari akhir dari hidup Anda. Hiduplah

dengan membawa keyakinan. Hiduplah dengan selalu penuh harapan. Hiduplah dengan semangat cinta. Hiduplah dengan semangat perjuangan.

Hiduplah dengan selalu penuh kesabaran. Hargailah hidup Anda.

Dr. Ibrahim Elfiky