REGRESI BERGANDA TIGA PREDIKTOR

BAB XVII

 REGRESI BERGANDA TIGA PREDIKTOR

Kualitas tak pernah kebetulan. Kualitas selalu hasil dari kemauan yang

tinggi, upaya yang tuntas, arahan yang cerdik, eksekusi yang terampil.

Kualitas melambangkan pilihan bijak dari banyak alternatif.

William A. Foster

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pengertian analisis regresi tiga prediktor, persamaan regresi tiga prediktor: Ŷ =  +  +  + , rumus untuk menyelesaikan persamaan ada dua: rumus eliminasi, rumus Cramer dan aturan Sarrus, uji multikolinieritas, uji heteroskedastisitas, uji autokorelasi, uji signifikansi koefisien korelasi ganda, korelasi parsial, uji signifikansi koefisien korelasi parsial, dan analisis regresi komponen utama.

• Regresi Berganda Dengan 3 Prediktor

Regresi berganda dengan 3 prediktor digunakan untuk memprediksi suatu hubungan antara tiga variabel bebas (prediktor) dengan satu variabel terikat. Misalnya kita ingin mengetahui seberapa besar keeratan hubungan variabel Y yang dapat diprediksikan oleh tiga variabel independen ,  dan  . Langkah-langkah analisis datanya sebagai berikut :

1. Model regresi Ŷ        =  +  +  +
2. Mencari , dan                   =  +    +  

 =  +   +  

 =  +    +

Catatan:                                                = Ȳ –  –  

      Untuk menentukan                         =  –

                                             = – Ȳ

3. Analisis Jumlah Kuadrat dan Derajat Bebas Sumber Varian
   1. Jumlah Kuadrat Total (JKT)

JKT =                                                             

Derajat Bebas Total (db(T))             db(T) = n-1

1. Jumlah Kuadrat Regresi (JK Reg)

JKT (Reg) = +         

Derajat Bebas Regresi (db(Reg))           db(b/a) = k-2

1. Jumlah Kuadrat Sisa (JKS)

JKS = JKT – JK (Reg)                                   

Derajat Bebas Sisa (dbS)         db(S) = n – k – 1

1. Rerata Jumlah Kuadrat (RJK)

            Rerata Jumlah Kuadrat Regresi (RJK(Reg))

            Rerata Jumlah Kuadrat Sisa (RJKS)

4. Uji Signifikasi Persamaan Regresi Ganda Y atas X₁ dan X₂

5. Uji Signifikansi Koefisien Regresi Ganda Y atas X₁, X₂, dan X₃
6. Koefisien Korelasi Ganda

1. Uji Signifikansi Koefisien Korelasi Ganda

1. Koefisien Determinasi

6. Signifikansi Koefisien Persamaan Regresi Ganda
7. Galat Baku Taksiran

1. Menentukan determinan dengan matrik korelasi

1. Menentukan matrik minor dan kofaktor

           Jika A adalah matriks kuadrat, maka minor a_ij dinyatakan oleh M_ij adalah submatriks A yang didapat dengan jalan menghilangkan baris ke-i dan kolom ke-j. Kofaktor a_ij dinyatakan oleh C_ij didefinisikan sebagai: C_ij =(-1)^i+j.Ma

1. Menentukan Adjoint R (Adj(R)) dan Invers Matrik R (R^-1)

1. Menentukan r^ij

           Nilai r ^ij ditentukan dengan mengambil diagonal matrik R^-1

1. Menentukan R_i²

           Nilai R_i² ditentukan dengan rumus R_i² =  

1. Menghitung

1. Uji signifikansi koefisien X₁ dan X₂

           t_tabel

7. Korelasi Parsial dan Uji Signifikansi Korelasi Parsial
8. Koefisien korelasi antara X₁ dan Y dengan mengontrol pengaruh X₂

           Uji signifikansi Koefisien Korelasi Parsial

         t_hitung =  

           t_tabel

1. Koefisien korelasi antara X₁ dan Y dengan mengontrol pengaruh X₃

              Uji signikansi Koefisien Korelasi Parsial

         t_hitung =

           t_tabel

1. Koefisien korelasi antara X₁ dan Y dengan mengontrol pengaruh X₂ dan X₃

 r_y123 =

 Uji signifikansi koefisien kolerasi parsial

 t _hitung =

 t _tabel  = (a;  n-k-1)

Contoh 1.

Diketahui empat kumpulan data berdistribusi normal dengan 1 variabel terikat (Y) dan 3 variabel bebas (X₁, X₂, dan X₃)

          Tabel 17.1. Contoh Analisis Regresi Berganda dengan Tiga Prediktor

1. Tentukan persamaan regresi ganda Y atas X₁, X₂, dan X₃
2. Uji signifikansi koefisien regresi ganda Y atas X₁, X₂, dan X₃
3. Uji signifikansi koefisien persamaan regresi Y atas X₁, X₂, dan X₃
4. Uji signifikansi koefisien korelasi ganda Y atas X₁, X₂, dan X₃
5. Uji signifikansi koefisien korelasi parsial
6. Tentukan peringkat hubungan antara variabel bebas dan variabel terikat

Jawab:

Menyusun data pada soal di atas ke dalam tabel penolong sebagai berikut:

1. Menentukan persamaan regresi ganda Y atas X₁, X₂, dan X₃.
2. Model regresi  = a_a + a₁x₁ + a₂x₂  + a_{3 3}

2._. Mencari a₀, a₁ dan a₂

 a_{1  +} a_{2  +} a₃                     

 18      = 318 a₁ – 120 a₂ + 24 a₃

 a_{1  +} a₂  +a₃                                         

 265    = 120 a₁ + 262 a₂ + 1573 a₃

 a_{1  +}a₂ +a₃                         

 166    = 24 a₁ + 1573 a₂ + 1042 a₃

Menggunakan aturan Sarrus diperoleh nilai D sebagai berikut:

D  =  

D  =  (318 x 2662 x 1042) + ((-120) x 1573 x 24) + (24 x (-120) x 1573) – (24 x 2662 x 24)) –

        (1573 x 1573 x 318) + (1042 x (-120) x (-120))

     =  69634458

D₁ = 

        =  (18 x 2662 x 1042) + (-120 x 1573 x 166) + (24 x 265 x 1573) – (24 x 265 x 1573) – (166 x 2662 x 24)  – (1573 x 1573 x 18) – (1042 x 265 x (-120))

        = 6590862

D₂ =      

        =  (318 x 265 x 1042) + (18 x 1573 x 24) + (24 x (-120) x 166) – (24 x 265 x 24) –

         (166 x 1573 x 318) – (1042 x (-120) x18)

     = 7073352

D₃ =     

     =  (318 x 2662 x 165) + (-120 x 265 x 24) + (18 x (-120) x 1573) – (24 x 2662 x 18) – (1573 x 265 x 318) – (166 x (-120) x (-120)

     = 263682

Selanjutnya untuk menghitung a₁, a₂, a₃ dan a₀ menggunakan rumus :

a₁ =  =  = 0, 09565

a₂ =  =  = 0, 101578

a₃ =  =  = 0, 0037866

a₀ =  – a₁  – a₂  – a₃  

a₀ = 11 – (0,09565 x 20) – (0,101578 x 74) – (0,0037866 x 41) = 1,435

Dengan demikian model persamaan regresi linernya dapat ditulis :

 = a₁x_{1 +} a₂x_{2 +} a₃x₃ = 1.435 + 0,095 x₁ + 0,12 x₂ + 0,004 x₃

Analisis jumlah kuadrat dan derajat bebas sumber varian adalah sebagai berikut:

1. Jumlah kuadrat total (JKT)

JKT =  = 30           

Derajat bebas total      db(T) = n – 1 = 10 – 1 = 9

1. Jumlah kuadrat regresi (JK Reg)

JK(Reg) =  a₁  y + a₂  y + b₃  y

JK(Reg) =  (0,095 x 18) + (0,102 x 265) + (0,004 x 166)                                  

JK(Reg) = 29,404

Derajat bebas regresi         db(Reg) = k =3

1. Jumlah Kuadrat Sisa (JKS)

JKS = JKT – JK (Reg) = 30 – 29,404 = 0,6

Derajat bebas sisa (dbS)

db(S) = n – k – 1 = 10 – 3 – 1 = 6

1. Rerata Jumlah Kuadrat (RJK)

Rerata Jumlah Kuadrat Regresi (RJK(Reg))

RJK(Reg) =  =  = 9,8

Rerata Jumlah Kuadrat Sisa (RJKS)

RJKS =  =  = 0,1

2. Uji Signifikansi Koefisien Regresi Ganda Y atas X₁, X₂ dan X₃

F_Hitung

F_Tabel (α ;        F_Tabel (0,05;  ) = 4,76

1. Koefisien Korelasi Ganda

=  =  = 0,98

1. Uji Signifikansi Koefisien Korelasi Ganda

F_Hitung

F_Tabel (α ;       F_Tabel (0,05;  ) = 4,76

1. Koefisien Determinasi

KD =  X 100% = 0,98 x 100% = 98%

Jadi 98% variasi pada variabel terikat dapat dijelaskan oleh variable X₁, X₂, X₃

3. Pengujian Signifikansi Koefisien Persamaan Regresi Ganda
4. Galat Baku Taksiran

 =

1. Menentukan determinan dengan matrik korelasi

R =  = 

Menggunakan metode Saruss seperti pada contoh sebelumnya, maka akan diperoleh Determinan R = 0,99 – 0,902 = 0,088

1. Menentukan matrik minor dan kofaktor

Matrik Minor

Kofaktor  dinyatakan oleh  didefinisikan sebagai:  =

Contoh Kofaktor  1 x (- 0,1622) = – 0,1622, dengan cara yang sama diperoleh:

Adjoint R (Adj(R))

=   =

Invers Matrik R ( )

=  

Untuk menentukan r^ij dapat juga dilakukan dengan menggunakan Ms Excell dengan langkah-langkah sebagai berikut (Edi Riadi, 2015) :

• Menyusun matrik korelasi kedalam sel Excell seperti berikut:

• Memilih salah satu sel yang kosong, misalnya A5
• Mengetikkan Fungsi Excel untuk menghitung inverse matrix, yaitu = Minverse(A1:C3) pada sel A5, kemudian enter maka akan diperoleh hasil sebesar 1,320866
• Kemudian memilih kembali sel A5 dan memilih 3 baris lagi ke bawah dan 3 kolom lagi ke kanan sesuai dengan ukuran matriks yang akan di-inverse, jadi sel yang terpilih berada dalam rentang A5:C7
• Kemudian Tekan F2, maka akan muncul tulisan = MINVERSE(A1:C3)
• Setelah itu Tekan Ctrl + Shift + Enter

Selesai dan lihat hasilnya, maka hasilnya kurang lebih seperti di bawah ini

Terlihat hasil r^ij dari Ms Excell sama dengan cara manual, hanya berbeda sedikit pada digit ke empat dan seterusnya. Hal ini disebabkan karena pembulatan dalam perhitungan manual, sedangkan Ms Excell tidak dibulatkan karena ketelitiannya sampai 8 digit di belakang koma.

1. Menentukan r ^ij

Nilai r ij ditentukan dengan mengambil diagonal matrik R-1, dengan demikian maka

r¹¹ = 1,32          r²² = 11,34             r³³ = 11,17

1. Menentukan

Nilai  ditentukan dengan rumus  = 1 –

R₁²

R₂²

R₃²

1. Menghitung

1. Uji signifikansi koefisien X₁, X₂, dan X₃

 =  (0,05; 6) = 2,45 sedangkan  (0,01; 6) = 3,71

4. Korelasi Parsial dan Uji Signifikansi Korelasi Parsial

Tentukan koefisien korelasi antar variabel dengan rumus dan perhitungan sebagai berikut:

 =  = 0,184289

 =  = 0,937737

 =  = 0,93888

 =  = – 0,13043

 =  = 0,041693

 =  = 0,944476

r_1y =0,184289       ↔     r_1y² = 0,034

r_2y = 0,937737      ↔     r_2y² = 0,879

r_3y = 0,938888      ↔     r_3y² = 0,881

r₁₂ = -0,13043       ↔    r₁₂² = 0,017

r₁₃ = 0,041693      ↔     r₁₃² = 0,0017

r₂₃ = 0,944476      ↔     r₂₃² = 0,892

1. Koefisien Korelasi antara X1 dan Y dengan mengontrol pengaruh X2

R_1.2 =  =  = 0,887

Uji signifikansi koefisien korelasi parsial

F_hitung =  =  = 2,356

T_tabel (a; n-k-1) ↔ t_tabel (0,95; 10-2-1) ↔ t_tabel (0,95;7) = 1,90

1. Koefisien korelasi antara X1 dan Y dengan mengontrol pengaruh X3(ry1.3)

R_1.3 =  =  = 0,419

Uji signifikasi koefisien korelasi parsial

t_hitung =  =  = 1, 22

t_tabel (a;n-k-1) ↔ t_tabel (0,95;10-2-1) ↔ t_tabel (0,95;7) = 1,90

1. Koefisien korelasi antara X₁ dan Y dengan mengontrol pengaruh X₂ dan X₃

R_y1.23 =

R_y3.2 = =  = 0,468

R_y13.2 = =  = 0,655

R_y1.23 = =  = 0,869

Uji signifikasi koefisien korelasi parsial

t_hitung =    =  = 4, 3

t_tabel (a;n-k-1) ↔ t_tabel (0,95; 10-2-1) ↔ t_tabel (0,95; 7) = 1,90

• Regresi Berganda 3 Prediktor Rumus Eliminasi

Contoh untuk penerapan rumus eliminasi. Misalkan peneliti ingin menguji prediktor jumlah rotasi kerja (X₁), persepsi tentang upah (X₂), dan masa kerja (X₃) untuk memprediksikan kriterium besarnya produktivitas kerja karyawan (Y). Data yang didapatkan dimasukkan dan langsung diolah dalam tabel kerja analisis regresi tiga prediktor seperti tabel 17.2 berikut ini.

Tabel 17.2. Tabel Kerja Analisis Regresi 3 Prediktor

Berdasarkan harga-harga yang terdapat pada tabel 17.2 secara berturut-turut dapat dihitung hal-hal sebagai berikut.

1. Menghitung harga-harga deviasi
2. Ʃx₁² = ƩX₁² – (ƩX₁)² / N

                      = 214 – (32)² / 5

  = 9,2

1. Ʃx₂² = ƩX₂² – (ƩX₂)² / N

                     = 144 – (26)² / 5

               = 8,8

1. Ʃx₃² = ƩX₃² – (ƩX₃)² / N

                     = 251 – (35)² / 5

               = 6

1. Ʃy²    = ƩY² – (ƩY₂)² / N

                       = 190 – (30)² / 5

                 = 10

1. Ʃx₁y = ƩX₁Y – (ƩX₁)(ƩY) / N

                       = 200 – (32)(30) / 5

                 = 8

1. Ʃx₂y = ƩX₂Y – (ƩX₂)(ƩY) / N

                        = 165 – (26)(30) / 5

                  = 9

1. Ʃx₃y = ƩX₃Y – (ƩX₃)(ƩY) / N

                       = 215 – (35)(30) / 5

                 = 5

1. Ʃx₁x₂ = ƩX₁X₂ – (ƩX₁)(ƩX₂) / N

                        = 174 – (32)(26) / 5

                  = 7,6

1. Ʃx₁x₃ = ƩX₁X₃ – (ƩX₁)(ƩX₃) / N

                        = 231 – (32)(35) / 5

                        = 7

1. Ʃx₂x₃ = ƩX₂X₃ – (ƩX₂)(ƩX₃) / N

                       = 187 – (26)(35) / 5

                       = 5

2. Memasukkan harga-harga deviasi ke dalam persamaan-persamaan berikut ini.
3. Ʃx₁y = b. Ʃx₁² + c. Ʃx₁x₂ + d. Ʃx₁x₃

      8          = b. 9,2 + c. 7,6 + d. 7

1. Ʃx₂y = b. Ʃx₁x₂ + c. Ʃx₁² + d. Ʃx₂x₃

      9          = b. 7,6 + c. 8,8 + d. 5

1. Ʃx₃y = b. Ʃx₁x₃ + c. Ʃx₂x₃ + d. Ʃx₃²

5          = b. 7 + c. 5 + d. 6

3. Memisahkan koefisien regresi d dari pasangannya, sehingga persamaannya menjadi :
4.          =  b  + c  + d

              1,143 = b. 1,143 + c. 1.086 + d

1.        = b  + c  + d

              1,8     = b. 1,52 + c. 1,67 + d

1.          =  b. + c  ­+ d

         0,83   =  b. 1,167 + c. 0,83 + d

4. Melakukan pengurangan pada persamaan butir 3, yaitu 3a – 3b dan 3b – 3c, sehingga hasilnya sebagai berikut :

            b.

5. Memisahkan koefisien regresi c dari pasangannya sehingga persamaannya menjadi :
6.    = b.  + c

                      0,975  = b.0,306 + c

1.     = b.  + c

                       1,043= b.0,38 + c

6. Melakukan pengurangan pada persamaan butir 5, yaitu 5a – 5b sehingga hasilnya sebagai berikut :

7. Menemukan koefisien regresi b meggunakan persamaan butir 6, yaitu -0,068 = b.-0,074, sehingga dapat diperoleh hasil sebagai berikut :

                 b  = 

                     =   0,9

8. Menemukan koefisien regresi c menggunakan persamaan 5b, yaitu 1,043 = b.0,38 + c, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

                 1,043    =  (0,9)(0,38) + c

                 c           =  1,043 – (0,9)(0,38)

                             =  0,7

9. Menemukan koefisien regresi d dengan menggunakan persamaan 3c, yaitu 0,83 = b.1,167 + c.0,83 + d, sehingga diperoleh hasil sebagai berikut :

                 0,83      =  (0,9)(1,167) + (0,7)(0,83) + d

                 0,83      =  1,05 + 0,58 + d

                 d           = 0,83 – 1,63

                             = – 0,8

10. Menemukan intersep a dengan menggunakan harga rata-rata ₁ = 6,4, ₂ = 5,2, ₃ = 7, = 6, b = 0,9, c = 0,7 dan d = – 0,8

                 a           = – b ₁ – c ₂ + d ₃

                             = 6 – (0,9)(6,4) – (0,7)(5,2) – (-0,8)(7)

                             = 2,2

12. Sehingga persamaan regresi Y = a + bX₁ + cX₂ + dX₃ dapat dituliskan sebagai berikut:

                 Y = 2,2 + 0,9X₁ + 0,7X₂ – 0,8X₃

           Arti dari persamaan regresi ini adalah bahwa rata-rata skor kriterium Y diperkirakan akan mengalami perubahan sebesar 0,9 untuk setiap unit perubahan yang terjadi pada X₁, berubah sebesar 0,7 untuk setiap unit perubahan pada X_2, dan berubah sebesar – 0,8 untuk setiap perubahan yang terjadi pada X_3.

13. Menghitung koefisien determinan (R²)

                 R²   = 

                       = (0,9.8) + (0,7.9) + (-0,8.5)

                       = 0,95

      Arti dari koefisien determinan R² = 0,95 adalah bahwa 95% dari variasi yang terjadi pada kriterium Y disebabkan oleh pengaruh prediktor X₁, X₂, dan X₃ secara bersama-sama, sedangkan sisanya 0,05% disebabkan oleh pengaruh variabel lain yang tidak diteliti dan diklasifikasikan sebagai residu.

14. Menemukan harga F_reg dan melakukan uji signifikansi

            F_reg  =    

                =  

                    =  6,33

Berdasarkan harga F_reg yang di peroleh yaitu sebesar 6,33 dan dengan menggunakan db_reg = 3 dan db_res = 1 maka didalam tabel nilai-nilai F didapatkan harga F teoritis sebesar 216 pada taraf 5% dan 5403 pada taraf 1%. Dari hasil-hasil ini dapat dibuktikan bahwa harga F empirik berada di bawah harga F teoritiknya. Sehingga dapat ditarik kesimpulan bahwa persamaan regresi yang ditemukan tidak signifikan apabila digunakan untuk membuat dasar ramalan. Artinya produktivitas kerja karyawan tidak dapat diramalkan dari prediktor-prediktor jumlah rotasi kerja, persepsi tentang upah dan masa kerja karyawan. Oleh karena tidak signifikan, maka kita tidak perlu meneruskannya untuk melakukan perhitungan pada sumbangan relatif (SR) maupun sumbangan efektif (SE) masing-masing prediktor terhadap kriteriumnya.

• Regresi Berganda 3 Prediktor Menggunakan Rumus Crammer dan Sarrus

            Prosedur penghitungan analisis regresi tiga prediktor dengan menggunakan rumus eliminasi dapat disederhanakan apabila menggunakan rumus Crammer dan Sarrus. Dasar rumus Crammer dan Sarrus adalah menyelesaikan perhitungan-perhitungan dengan menggunakan fungsi matriks dan determinan. Crammer dan Sarrus adalah matematikawan sehingga rumus-rumusnya mendasarkan diri pada penyelesaian matematis. Kita menuliskan kembali persamaan-persamaan untuk analisis regresi tiga prediktor seperti yang terdapat pada bagian sebelumnya yaitu :

                             Ʃx₁y    =  b. Ʃx₁² + c. Ʃx₁x₂ + d. Ʃx₁x₃

                                       Ʃx₂y    =  b. Ʃx₁x₂ + c. Ʃx₂ + d. Ʃx₂x₃

                                       Ʃx₃y    =  b. Ʃx₁x₃ + c. Ʃx₂x₃ + d. Ʃx₃²

Dengan menggunakan rumus Crammer persamaan-persamaan tersebut diubah menjadi matriks sehingga koefisien regresi b, c, dan d dapat di hitung sebagai berikut:

                             b = 

                       c = 

                                      d = 

Untuk menyelesaikan perhitungan matriks ini dengan menggunaka rumus determinan Sarrus kita harus menambah 2 kolom harga di sebelah kiri matriks dengan menggunakan harga-harga kolom pertama dan kedua. Misalnya kalau matriks tersebut kita sederhanakan sebagai berikut :

                              =  

Maka apabila ditambahkan 2 kolom harga di sebelah kiri matriks dengan menggunakan dua kolom harga pertama dan harga kedua maka matriks akan berubah menjadi :

                        =       

Cara yang ditempuh untuk menghitung harga-harga matriks tersebut adalah dengan melakukan perkalian diagonal pada unsur-unsur matriks dengan status minus (-) apabila perkalian ini menaik, plus (+) apabila perkalian menurun. Apabila matriks itu kita tuliskan dalam bentuk operasionalisasi sederhana maka akan kita dapatkan cara sebagai berikut :

                             = 

Dari harga-harga deviasi yang sudah ditemukan berdasarkan tabel 17.2 maka fungsi determinan Sarrus dapat dihitung sebagai berikut :

                             b =

                                 =

                                 =  

                                 =   

                           =     =  0,9

                             c = 

                         =  

                         = 

                         = 

                         =       =  0,7

d = 

                           =  

                           =  

                           =  

                                  =        = – 0,8

Untuk menghitung intersep a digunakan rumus sebagai berikut :

           a  = – b. ₁ – c. ₂ – d. ₃

                         = 6 – (0,9.6,4) – (0,7.5,2) – (-0,8.7)

                   =  2,2

Sehingga persamaan regresi yang ditemukan dapat dituliskan sebagai berikut :

                 Y = 2,2 + 0,9X₁ + 0,7X₂ – 0,8X₃

Persamaan regresi yang diperoleh melalui rumus Crammer dan Sarrus ini menghasilkan harga-harga yang sama dengan persamaan regresi yang dihitung dengan menggunakan rumus eliminasi. Dari segi waktu rumus Crammer dan Sarrus merupakan rumus yang lebih efisien bila dibandingkan dengan rumus eliminasi, hanya untuk menggunakan rumus Crammer dan Sarrus mempersyaratkan sedikit pengetahuan tentang dasar-dasar kerja matematik dan lebih khusus lagi pada pemahaman fungsi matriks dan determinan (Winarsunu, 2002).

• Pengujian Asumsi Multikolinieritas

Multikolineritas adalah terjadinya hubungan liniear antara variabel bebas dalam suatu model regresi linier berganda (Gujarati, 2003). Hubungan linier antara variabel bebas dapat terjadi dalam bentuk hubungan linier yang sempurna (perfect) dan hubungan yang kurang sempurna (imperfect). Salah satu cara pengujian multikolineritas yang umum digunakan adalah pengujian Variance Inflation Factor (VIF) dengan langkah-langkah berikut (Edi Riadi, 2015):

1. Menghitung nilai korelasi antar variabel bebas (r)
2. Mengkuadratkan nilai korelasi antar variabel bebas (r²)
3. Menghitung nilai tolerance (Tol) dengan rumus (1-r²)
4. Menghitung nilai VIF dengan rumus 1/TOL
5. Jika VIF < 10, maka tidak terjadi multikolinier

Contoh pengujian asumsi multikolinieritas berdasarkan data pada tabel 17.1 dilakukan sebagai berikut :

1. Menghitung nilai korelasi antar varibel bebas (r)

r₁₂ = =  = – 0,13043

r₁₃ = =  = 0,041693

r₂₃ = =  = 0,944476

2. Mengkuadratkan nilai korelasi antar variabel bebas (r²)

r₁₂     = 0, 13043         ↔        r₁₂² = 0,017

r₁₃     = 0,041693        ↔        r₁₃² = 0,0017

r₂₃     = 0,944476        ↔        r₂₃² = 0,892

3. Menghitung nilai tolerance (Tol) dengan rumus (1-r²)

Tol r₁₂ = 1 – 0,017  = 0,983

Tol r₁₃ = 1 – 0,0017 = 0,9983

Tol r₂₃ = 1 – 0,892  = 0,108

4. Menghitung nilai VIF dengan rumus 1/TOL

VIF 12 = 1/0,983 = 1,0173

Karena VIF antara X1 dengan X2 < 10, maka dapat disimpulkan bahwa antara X₁ dengan X₂ tidak terjadi mulikolinieritas

VIF 13 = 1/0,9983 = 1,0017

Karena VIF antara X₁ dengan X₃ < 10, maka dapat disimpulkan bahwa antara X₁ dengan X₃ tidak terjadi mulikolinieritas

VIF 23 = 1/0,108 = 9,26

Karena VIF antara X₂ dengan X₃ < 10, maka dapat disimpulkan bahwa antara X₂ dengan X₃ tidak terjadi mulikolinieritas.

• Pengujian Asumsi Heteroskedastisitas

            Heteroskedastisitas adalah variansi dari error model regresi tidak konstan atau variansi antar error yang satu dengan yang lain berbeda. Selanjutnya untuk mengetahui apakah pola variabel error mengandung heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan Uji Glejser. Langkah-langkah uji Glejser dapat dilakukan sebagai berikut (Edi Riadi, 2015):

1. Meregresikan variabel (X) terhadap variabel terikat (Y).
2. Menghitung nilai prediksinya.
3. Menghitung nilai residualnya.
4. Memutlakkan nilai (menentukan nilai mutlak) residualnya.
5. Meregresikan variabel bebas terhadap nilai mutlak residualnya.
6. Jika signifikan berarti terjadi gejala heteroskedastisitas dan sebaliknya jika tidak signifikan berarti terjadi gejala heteroskedastisitas.

Contoh untuk melakukan pengujian asumsi heteroskedastisitas adalah dengan menggunakan bantuan tabel penolong sebagai berikut:

Tabel 17.3. Tabel Penolong Pengujian Asumsi Heteroskedastisitas

Selanjutnya tinggal regresikan dimana residual Ȳ-Y sebagai variabel terikat sedangkan variabel X₁, X₂ dan X₃ sebagai variabel prediktor sebagai berikut:

Dengan cara yang sama seperti pada contoh regresi berganda dengan 3 prediktor di atas maka diperoleh persamaan regresi berganda seperti berikut :

 =  +  +  +  = 0,0000382 + 0,000351  + 0,184  + 0,000213  

Dengan cara yang sama lakukan analisis jumlah kuadrat dan derajat bebas varian dan determinan matrik, minor dan kofaktor seperti contoh sebelumnya maka diperoleh besaran – besaran sebagai berikut :

JKT           = 1,664                    

JKReg    = 0,914                         = 1,367613862 ;

JKS           = 0,749                      = 12, 64512

 = 0,125                         = 12,45166.

Sehingga nilai t berdasarkan koefisien persamaan regresi dapat ditentukan sebagai berikut :

      =  =    = 0,001096

 =  =  =  = 0,1889

 =  =  =  = 0,00022

 (a; n-k-1) ó  (0,05; 6) = 2,45 sedangkan  (0,01; 6) = 3,71

Kesimpulan

Karena koefisien regresi baik , , dan  seluruhnya lebih kecil dari t tabel berarti koefisien , , dan  tidak signifikan. Dengan demikian maka dapat disimpulkan tidak terjadi gejala heteroskedastisitas.

• Uji Asumsi Autokorelasi

Autokorelasi adalah korelasi yang terjadi anatar satu variabel error dengan variabel error yang lain. Autokoreksi seringkali terjadi pada data time series, sedangkan pada penelitian cross sectional jarang terjadi. Selanjutnya untuk mendeteksi adanya autokorelasi dalam model regresi linier berganda dapat digunakan metode Durbin-Watson. Adapun langkah-langkah Uji autokorelasi menggunakan metode Durbin-Watson dapat dijelaskan sebagai berikut :

1. Meregresikan variabel bebas (X) terhadap variabel langsung (Y).
2. Menghitung nilai prediksinya.
3. Menghitung nilai residualnya.
4. Mengkuadratkan nilai residualnya.
5. Mundurkan waktu 1 periode dengan cara menurunkan nilai resiudalnya.
6. Kurangkan nilai residualnya dengan point 5) di atas.
7. Masuk hasil perhitungan di atas, kemudian masukan ke dalam rumus Durbin-Watson

Dengan menganggap data pada contoh kasus di atas sebagai data time series, kemudian membuat tabel penolong seperti berikut:

        Tabel 17.4. Contoh Uji Autokorelasi dalam Bentuk Time Series Data

Keterangan :

   =  +  +  +  = 1,435 + 0,095 (12) + 0,12 (71) + 0,003 (36) = 11,239

e    = Y-    = 10 – 11,239 = -1,239

  =  = 1,5351

 = e mundur satu periode

(e – )    = -1,904 – (-1,2390) = -0,665

 –  = 0,4422

Dengan cara yang sama lengkapilah tabel seperti di atas, kemudian jumlahkan kolom  dan kolom  – . Selanjutnya hitung nilai Durbin Watson (DW) dengan rumus :

DW =  =  = 0,137

Konsultasikan nilai Durbin Watson tersebut ke dalam tabel Durbin Watson sebagai berikut :

Dari tabel Durbin Watson dengan n = 10, banyak variabel bekas (k) = 3, a = 5% diperoleh dL = 0,5253, dU = 2,0163, (4 – dU) = 1,9837, dan (4 – dL) = 3,4747. Kemudian konsultasikan dengan kriteria pengujian Durbin Watson sebagai berikut :

     0            dL          dU            2         4 – dU     4 – dL       4   

Kesimpulan 

Karena nilai DW = 0,137 berada diantara 0 < d <  atau diantara 0 dan batas bawah atau    lower bound (dL = 0,5253), berarti ada autokorelasi positif.

• Analisis Regresi Komponen Utama

            Analisis regresi komponen utama biasanya digunakan dalam penelitian korelasional yang melibatkan banyak variabel bebas di mana secara empiris variabel-variabel tersebut saling berhubungan (tergantung). Dalam kasus semacam ini maka analisis regresi multipel bukan merupakan metode analisis yang tepat. Hal ini karena asumsi dasar dalam regresi multipel tidak terpenuhi, misalnya asumsi tentang tidak terjadinya multikolinearitas (multicolllinearity) di antara variabel-variabel bebas. Menurut Vincent Gaspersz (2005), dalam kasus terjadi multikolinearitas yang tinggi di antara variabel bebas maka teknik pendugaan berdasarkan metode kuadrat terkecil menjadi tidak dapat lagi diandalkan karena akan menimbulkan masalah yang serius seperti koefisien korelasi parsial atau koefisien persamaan regresi multipel menjadi tidak signifikan secara statistik.

Untuk mengatasi hal tersebut diperlukan teknik analisis lain, salah satu metode yang tepat adalah model regresi komponen utama (principal component regression model). Esensi dari analisis regresi komponen utama merupakan kombinasi antara Analisis Komponen Utama (AKU) dengan analisis regresi. AKU digunakan sebagai analisis perantara yang selanjutnya akan dianalisis dengan regresi untuk mendapatkan hasil akhir. Keunggulan teknik komponen utama dalam analisis regresi adalah di samping untuk mengatasi masalah multikolinearitas juga dapat meningkatkan presisi pendugaan parameter model regresi melalui peningkatan derajat bebas (db) galat atau error.

            AKU pada dasarnya bertujuan untuk menyederhanakan variabel yang diamati dengan mereduksi dimensinya. Cara ini dilakukan dengan jalan menghilangkan korelasi di antara variabel bebas melalui transformasi variabel asal ke variabel baru yang tidak berkorelasi. Misalkan variabel baru (Xi) sebagai komponen utama hasil transformasi dari variabel asal Xo yang modelnya dinyatakan dalam bentuk matriks: Xi = AXo, di mana A adalah matriks yang melakukan transformasi terhadap variabel Xo sehingga diperoleh vektor komponen Xi. Komponen utama adalah kombinasi linear yang dibobot dari variabel asal yang nantinya dapat menjelaskan variasi data dalam persentase terbesar (Kadir, 2015). Persamaan komponen utama dapat dinyatakan dengan: Xi = a₁₁ X₁ + a₂₁ X₂ + ………. + a_pi X_p atau Xi = a_i X_o, di mana pembobot a_i adalah vektor normal, dan a_ia₀ = 1, dipilih sehingga varians komponen utama menjadi maksimum. Varians komponen utama dinyatakan sebagai S_xi² = a_iSa₀, vektor pembobot a_i adalah koefisien pembobot variabel asal untuk komponen utama ke-i, dari matriks varians-kovarians yang diduga dengan matriks S berikut: S = .

            Matriks varians-kovarians S ini digunakan untuk variabel dengan satuan pengukuran yang sama. Jika variabel yang diamati tidak mempunyai satuan yang sama (uncomparable), perlu dibakukan dengan skor baku z dengan formula: Z_i = . Dengan demikian, persamaan model komponen utama ke-i dengan skor baku, dapat dinyatakan sebagai: Xi = a₁Z. Di mana vektor pembobotan yang merupakan koefisien pembobot variabel baku Z untuk komponen utama ke-i yang diturunkan dari matriks korelasi penduga dari matriks R.

            Untuk mengukur tingkat keeratan hubungan antara variabel asal dengan komponen utama digunakan koefisien korelasi, yaitu koefisien korelasi antara variabel ke-i dan komponen utama ke-j. Untuk komponen utama yang diturunkan dari matriks varians-kovarians dihitung dengan rumus  r_ix = r_ij = , sedangkan komponen utama yang diturunkan dari matriks korelasi R. Koefisien korelasi antara variabel baku ke-i dan komponen utama ke-j dihitung dengan rumus berikut: r_ZiX = r_ij (λ_j)^½, di mana λ_j diperoleh dengan cara sebagai berikut (Kadir, 2015).

            Diketahui S_X1² = a₁Sa₀ dengan syarat a₁a₀ = 1 atau a₁a₀ – 1 = 0, selanjutnya dibentuk fungsi Lagrange, dengan persamaan: L = a₁Sa₀ – λ(a₁a₀ – 1). Fungsi tersebut diturunkan terhadap vektor a₁, yaitu:  = a₀S – λ a₀ = a₀ (S – λI) = 0. Dengan demikian, untuk memperoleh vektor koefisien pembobot komponen utama X₁ yang memaksimumkan varians utama S_X1² dengan syarat a₁a₀ = 1, harus diselesaikan persamaan linear (persamaan Eigen) berikut: a₀ (S – λI) = 0, di mana:

S   = matriks varians-kovarians,

λ   = adalah nilai eigen atau akar ciri dari matriks S,

a₀  = vektor eigen yang bersesuaian dengan nilai eigen λ, dan

I   = matriks identitas.

            Agar persamaan Eigen a₀ (S – λI) = 0 menghasilkan solusi yang tidak sama dengan nol untuk nilai a₀ yang tidak trivial, maka matriks a₀ (S – λI) = 0 haruslah merupakan matriks singuler, hal ini dipenuhi jika determinan dari matriks tersebut sama dengan nol atau | S – λI | = 0. Penentuan nilai eigen dari p buah nilai eigen yang ada, untuk digunakan dalam komponen utama pertama dilakukan dengan menggandakan sistem persamaan:

a₀ (S – λI) = 0

ó Sa₀ – λ Ia₀ = 0

ó Sa₀ = λ Ia₀ (kedua ruas dikalikan dengan a₁) sehingga menjadi:

ó a₁Sa₀ = a₁ λ Ia₀

ó a₁Sa₀ = a₁ λ Ia₀ (a₁a₀ = 1)

ó a₁Sa₀ = (a₁a₀) I λ = λ (diketahui S_X1² = a₁Sa₀) maka:

ó λ = S_X1² = a₁Sa₀

            Berdasarkan persamaan tersebut, agar varians komponen utama maksimum haruslah dipilih nilai eigen terbesar dari matriks S. Selanjutnya dengan prosedur sama dapat dibentuk komponen utama kedua (X₂) dan seterusnya. Peranan atau sumbangan komponen utama tertentu X_i ditentukan oleh besarnya presentase keragaman total yang dapat dijelaskan oleh komponen utama ke-i. Untuk komponen utama dari matriks S peranan atau sumbangan dinyatakan sebagai rasio antara nilai eigen dan banyaknya variabel asal atau dapat dinyatakan sebagai: Sumbangan komponen utama X_i =  (p banyaknya variabel bebas).

            Dengan demikian, analisis regresi komponen utama tidak lain adalah analisis regresi dari variabel tak bebas (Y) atas komponen utama (X) yang tidak saling berkolerasi, di mana setiap komponen utama merupakan kombinasi linear dari semua variabel bebas yang telah dispesifikasikan sejak awal. Oleh karena semua variabel bebas dalam analisis komponen utama adalah komponen-komponen yang tidak saling berkorelasi, maka tidak ada lagi masalah multikolinearitas di antara variabel-variabel bebas tersebut, sehingga memudahkan untuk melakukan pendugaan parameter model regresi (Kadir, 2015). Hal ini berarti bahwa teknik komponen utama adalah suatu teknik untuk mengatasi masalah multikolinearitas dalam analisis regresi yang melibatkan banyak variabel bebas.

Contoh 1

Data hasil penelitian tentang pengaruh Pengetahuan Metodologi (X₁), Pengetahuan Statistika (X₂), dan Penguasaan Substansi Bidang Ilmu (X₃) terhadap Kualitas Tesis (Y) dari 10 mahasiswa yang dipilih acak dan disajikan pada tabel berikut.

Tabel 17.5. Skor Hasil Data X₁, X₂, X₃, dan Y

            Dengan menggunakan analisis yang sama seperti analisis regresi ganda 3 prediktor, diperoleh hasil analisis awal berturut-turut dirangkum sebagai berikut.

1. Persamaan regresi ganda Ŷ = 0,234 + 0,081X₁ + 0,065X₂ + 0,069X₃.
2. Analisis Varians Regresi

Dari tabel diperoleh F_hitung > F_tabel atau H₀ ditolak. Hal ini berarti terdapat pengaruh secara simultan variabel X₁, X₂, dan X₃ terhadap Y.

3. Koefisien korelasi ganda

Hasil perhitungan diperoleh R_y.12 = 0,927 dengan F_hitung = 12,253 > F_tabel = 4,76 atau H₀ ditolak pada α = 0,05. Hal ini berarti koefisien korelasi ganda antara X₁, X₂, dan X₃ secara bersama-sama dengan Y signifikan. Sehingga diperoleh koefisien determinasi sebesar (R­_y.12)² x 100% = 0,860 x 100% atau 86 % variasi nilai Y dapat dijelaskan oleh X₁, X₂, dan X₃ secara bersama-sama.

4. Koefisien persamaan regresi ganda dan korelasi parsial

Coefficients^a

1. Dependent Variable: Y

Tampak dari tabel p-value untuk koefisien: b₁ = 0,694, b₂ = 0,240, dan b₃ = 0,676 semuanya > 0,05 atau pengaruh masing-masing (parsial) variabel X₁, X₂, X₃ terhadap Y tidak signifikan. Selanjutnya semua koefisien parsial juga tidak signifikan. Angka VIF variabel X₁ = 10,136 > 10, variabel X₂ = 6,614 <10, dan variabel X₃ = 12,592 > 10, yang berarti pada variabel X₁ dan X₃ terjadi multikolinearitas (kriteia VIF < 10). Dari hasil uji signifikansi koefisien persamaan regresi, koefisien korelasi parsial, dan uji VIF, secara umum menunjukkan telah terjadi multikolinearitas di antara variabel bebas X₁, X₂, dan X₃. Sehingga walaupun hasil pengujian regresi dan koefisien kolerasi ganda memberikan hasil yang signifikan, namun untuk kasus di mana terjadi multikolinearitas maka metode analisis regresi ganda (multiple) menjadi tidak tepat lagi. Oleh karena itu, analisis yang lebih tepat untuk digunakan adalah regresi komponen utama. Adapun  langkah-langkah perhitungan adalah sebagai berikut (Kadir, 2015: 220-225).

1. Menentukan Skor Baku Variabel Dasar

Berdasarkan rata-rata dan simpangan baku pada contoh 8.4 dihitung skor baku Z₁, Z₂, dan Z₃ sebagai berikut.

Z₁ =  ,  Z₂ =  ,  Z₃ = 

Sehingga, skor baku dari variabel bebas X₁, X₂, X₃ menjadi Z₁, Z₂, dan Z₃.

      Tabel 17.6. Skor Hasil Perhitungan Z₁, Z₂, dan Z₃

Correlations

**. Correlation is significant at the 0.01 level (1-tailed).

Dari hasil analisis di atas diperoleh koefisien antar variabel Z, yaitu: r₁₂ = 0,896, r₁₃ = 0,947, dan r₂₃ = 0,917. Sehingga dapat dibentuk matriks korelasi.

1. Matriks Korelasi dan Penggandaan Matriks Korelasi

R   =  =

Penggandaan matriks R:

R²  = R.R    =  

   =

R⁴  = R². R² =

                    =

Menentukan vektor awal (a₀), dengan formula: a₀R², di mana a₀ = [1,1,1], sehingga:

a₀R²   =  ( 1 1 1 )

          =  (8,0756   7,9866   8,1358) dan

a₀R⁴   =  ( 1 1 1 )

          =  (65,1421   64,4228   65,6276)

1. Melakukan Proses Iterasi

Iterasi pertama:

a₀R² dibagi dengan elemen terbesar matriks a₀R², yaitu 8,1358.

 =  = (0,9926   0,9217   1,0000)

Iterasi kedua:

a₀R⁴ dengan elemen terbesar matriks a₀R⁴, yaitu 65,6276.

 =  = (0,9926   0,9217   1,0000)

Karena hasil iterasi pertama dan kedua memperoleh hasil yang sama maka proses iterasi dapat dihentikan.

1. Menentukan Persamaan Komponen Utama

Hasil iterasi yang telah diperoleh dinormalkan agar berlaku persamaan a₀a₁ = 1. Teknik penormalan vektor menggunakan rumus: a_ij = Sehingga vektor normal hasil iterasi (0,9926   0,9217   1,0000) ditentukan sebagai berikut.

a₁₁ =  = 0,5780

a₂₁ =  = 0,5717

a₃₁ =  = 0,5823

Sehingga vektor normal yang dimaksudkan adalah (0,5780   0,5717   0,5823). Berdasarkan vektor normal hasil iterasi disusun persamaan komponen utama berikut.

X_t = 0,5780 Z₁ + 0,5717 Z₂ + 0,5823 Z₃.

1. Menentukan Nilai Eigen dan Sumbangan Komponen Utama

Vektor ciri (vektor eigen) normal harus memenuhi persamaan linear berikut.

0,5780 (1 – λ) + 0,5717 r₁₂ + 0,5823 r₁₃ = 0

0,5780 – 0,5780λ + 0,5717 (0,896) + 0,5823 (0,947) = 0

0,5780λ = 1,6416814 ó λ = 2,840279, sehingga dapat ditentukan nilai dari:

S_x1² = λ = 2,840279

Dapat disimpulkan bahwa komponen utama pertama dapat menjelaskan sebesar (X_i) =  =  = 0,947 atau 94,70% variansi total kualitas tesis buatan mahasiswa (Y).

1. Mengukur Tingkat Keeratan Hubungan Variabel Asal dan Komponen Utama

Selanjutnya dapat diukur keeratan hubungan antara masing-masing variabel Z₁, Z₂, dan Z₃ dengan komponen utama X_t melalui formula berikut.

r_{Zi X} = r_ij = a_ij (λ_j)^½ = a_ij

Diketahui: a₁₁ = 0,5780, a₂₁ = 0,5717, a₃₁ = 0,5823 dan λ = 2,840279

r_{Z1 X} = r₁₁ = a₁₁  = (0,5780) ( ) = 0,9741 (korelasi Z₁ dan X_t)

r_{Z2 X} = r₂₁ = a₂₁  = (0,5717) ( ) = 0,9635 (korelasi Z₂ dan X_t)

r_{Z1 X} = r₁₁ = a₁₁  = (0,5823) ( ) = 0,9814 (korelasi Z₃ dan X_t)

Dari koefisien korelasi yang diperoleh menunjukkan bahwa semua variabel asal mempunyai hubungan yang sangat erat dengan komponen utama X_t. Tampak pula arah koefisien korelasi dan koefisien pembobot adalah positif, hal ini dapat disimpulkan bahwa semakin tinggi nilai variabel bebas/asal akan makin tinggi pula skor komponen utama. Dengan demikian, kualitas tesis mahasiswa dapat ditingkatkan berdasarkan variasi skor komponen utama (X_t). Hubungan varians komponen utama X_t, λ, dan koefisien korelasi r_zix adalah:

λ = S_x1² = (r_z1X)² + (r_z2X)² + (r_z3X)² = (0,9741)² + (0,9635)² + (0,9814)² = 2,840279.

1. Melakukan Analisis Regresi Komponen Utama

Untuk menentukan persamaan regresi komponen utama terlebih dahulu ditentukan skor dari komponen utama (X_t). Hasil perhitungan disajikan sebagai berikut.

Tabel 17.7. Skor Hasil Analisis Komponen Utama (X_t)

Catatan:

Misalkan subjek no 1 dengan Z1 = -0.9806, Z2 = -1.5684, Z3 = -1.1142, disubtitusi ke persamaan komponen utama X_t = 0,5780 Z₁ + 0,5717 Z₂ + 0,5823 Z₃ = 0,5780 (-0,9806) + 0,5717 (-1.5684) + 0,5823 (-1.1142) = -2.1122.

Selanjutnya akan dilakukan dianalisis regresi sederhana antara skor komponen utama (X_t) dengan variabel tak bebas (Y), berdasarkan data berikut.

Tabel 17.8. Hasil Perhitungan Data Regresi Y atas X_t

Hasil analisis dengan program SPSS, diperoleh beberapa output SPSS berikut.

1. Dependent Variable: Y

ANOVA^b

1. Predictors: (Constant), Xt
2. Dependent Variable: Y

Dari tabel Coefficients dapat ditulisakan regresi: Ŷ = 7,20 + 0,566 . Selanjutnya bila persamaan komponen utama  = 0,5780  + 0,5717  + 0,5823  disubtitusi ke persamaan regresi tersebut, maka diperoleh persamaan regresi Y atas , yaitu: 

Ŷ = 7,20 + 0,566 (0,5780  + 0,5717  + 0,5823 ).

Sehinggga persamaan regresi komponen utama yang dicari adalah :

Ŷ = 7,20 + 0,3272  + 0,3236  + 0,3296 .

Untuk menguji signifikansi koefisien persamaan regresi komponen utama, dilakukan perhitungan sebagai berikut.

• Menentukan varians error: ² =
• Menentukan varians kesalahan baku koefisien regresi komponen utama:

var  = ²  ⇔ s  = )

(m = 1, karena hanya satu buah komponen utama)

var ²    = (0,01833)  = 0,002156 ⇔ s ) = 0,04643

var ²    = (0,01833)  = 0,002109 ⇔ s ) = 0,04592

var ²    = (0,01833)  = 0,002188 ⇔ s ) = 0,04678

• Menentukan dengan formula: t(bi) =

t  =  =  = 7,0472

t  =  =  = 7,0470

t  =  =  = 7,0457

Sebagai pembanding  dengan db(residu) = 8, atau  = 1,86 atau semua nilai  dari koefisien regresi >  atau  ditolak.

• Menyusun tabel regresi komponen utama

Tabel 17.9. Persamaan Regresi Ŷ = 7,20 + 0,3272  + 0,3236  + 0,3296

Dari tabel di atas terlihat bahwa, koefisien yang didasarkan pada analisis regresi komponen utama bersifat nyata atau signifikan. Dengan demikian, teknik analisis regresi komponen utama yang menghasilkan persamaaan regresi: Ŷ = 7,20 + 0,3272  + 0,3236  + 0,3296  dapat memuaskan secara statistik dan teoritis. Selanjutnya persamaan regresi komponen utama dengan prediktor terbentuk variabel baku dapat diubah kembali menjadi regresi komponen utama dengan prediktor variabel asli (X₁, X₂, X₃), melalui proses substitusi.

=  ,  =  , dan  =  

Pada persamaan

Ŷ = 7,20 + 0,3272.  + 0,3236.  + 0,3296.  

Sehingga diperoleh:

Ŷ = 7,20 + 0,1283  + 0,03995  + 0,09181

Ŷ = 0,498 + 0,1283 + 0,03995  + 0,09181

• Menghitung Elastisitas

Untuk mengetahui sejauh mana tingkat responsi (sensitivitas) dari variabel tak bebas terhadap perubahan dalam variabel bebas dari persamaan regresi komponen utama dapat dihitung elastisitas rata-rata variabel tak bebas terhadap setiap variabel bebas, melalui rumus :

 =  =  ( ), di mana telah dihitung pada contoh sebelumnya masing-masing:

X₁ = 23,5, X₂ = 6,47, X₃ = 12,0 dan Y = 7,20.

Sehingga hasil perhitungan disarikan sebagai berikut.

Tabel 17.10. Elastisitas Variabel (Y) atas Variabel (X_i)

Catatan :

Elastisitas untuk koefisien regresi b₁ =0,1283 adalah

   = = 3,3639,    E₁ = b₁ ( ) = (0,1283)(3,2639) = 0,4188

Dari tabel di atas, terlihat bahwa elastisitas terbesar terjadi pada Variabel Pengetahuan Metodologi (X₁), yang bermakna bahwa variabel Kualitas Tesis Mahasiswa (Y) lebih sensitif terhadap variabel Pengetahuan Metodologi (X₁). Koefisien elastisitas untuk variabel Pengetahuan Metodologi (X₁) adalah 0,4188 yang dapat diinterpretasikan bahwa bila Pengetahuan Metodologi bertambah 1% maka Kualitas Tesis Mahasiswa (Y), meningkat sebesar 0,4188%.

Rangkuman

Regresi berganda dengan tiga prediktor digunakan untuk memprediksi suatu hubungan antara tiga variabel bebas (prediktor) dengan satu variabel terikat. Persamaannya adalah: Ŷ =  +  +  + . Prosedur penghitungan analisis regresi tiga prediktor dengan menggunakan rumus eliminasi dapat disederhanakan apabila menggunakan rumus Crammer dan Sarrus. Dasar rumus Crammer dan Sarrus adalah menyelesaikan perhitungan-perhitungan dengan menggunakan fungsi matriks dan determinan. Multikolineritas adalah terjadinya hubungan liniear antara variabel bebas dalam suatu model regresi linier berganda. Hubungan linier antara variabel bebas dapat terjadi dalam bentuk hubungan linier yang sempurna (perfect) dan hubungan yang kurang sempurna (imperfect). Pengujian multikolineritas yang umum digunakan adalah pengujian Variance Inflation Factor (VIF).

Heteroskedastisitas adalah variansi dari error model regresi tidak konstan atau variansi antar error yang satu dengan yang lain berbeda. Selanjutnya untuk mengetahui apakah pola variabel error mengandung heteroskedastisitas dapat dilakukan dengan Uji Glejser. Autokorelasi adalah korelasi yang terjadi antara satu variabel error dengan variabel error yang lain. Autokoreksi seringkali terjadi pada data time series, sedangkan pada penelitian cross sectional jarang terjadi. Selanjutnya untuk mendeteksi adanya autokorelasi dalam model regresi linier berganda dapat digunakan metode Durbin-Watson. Analisis regresi komponen utama biasanya digunakan dalam penelitian korelasional yang melibatkan banyak variabel bebas di mana secara empiris variabel-variabel tersebut saling berhubungan (tergantung).

Evaluasi Mandiri

1. Data hasil penelitian tentang pengetahuan metodologi penelitian (X₁), Kualitas Bimbingan (X₂), Pengalaman Meneliti (X₃) dan Kualitas Disertasi Mahasiswa (Y), disajikan sebagai berikut.

1. Cari persamaan regresi Y atas X_1, X₂, dan X₃ !
2. Susun hipotesis statistik, kemudian lakukan pengujian (uji-β) signifikansi persamaan regresi Y atas X₁, X₂, dan X_3, baik secara parsial dan secara simultan !
3. Data hasil penelitian tentang penguasaan kosa kata (X₁). Pemahaman tema (X₂), pengtahuan Tata Bahasa (X₃), dan Kemampuan Menulis Siswa SMA (Y), disajikan sebagai berikut.

1. Tuliskan persamaan/model regresi linear ganda!
2. Tuliskan hipotesis statistik (satu arah dan 2 arah), kemudian lakukan uji signifikansinya melalui uji-β, tafsirkan!
3. Hitunglah besarnya pengaruh X_1, X_2, dan X₃ terhadap Y, tafsirkan!
4. Data hasil penelitian tentang Panjang Tungkai (X₁), Ketahanmalangan (X₂), Motivasi berprestasi (X₃), dan kecepatan lari atlet jarak pendek (Y), disajikan sebagai berikut.

Pertanyaan:

1. Tuliskan persamaan/model regresi linear ganda.
2. Tuliskan hipotesis statistik (satu arah dan 2 arah), kemudian lakukan uji signifikansinya melalui uji-β, tafsirkan!
3. Hitunglah besarnya pengaruh X_1, X_2, dan X₃ terhadap Y, tafsirkan!
4. Data hasil penelitian tentang pengetahuan metodologi (X₁), pengetahuan statistika (X₂), pengetahuan substansi bidang ilmu (X₃), dan kualitas tesis buatan mahasiswa (Y), disajikan sebagai berikut.

1. Cari persamaan regresi ganda Y atas X_1, X₂, dan X₃ !
2. Lakukan pengujian signifikansi regresi ganda Y atas X_1, X₂, dan X₃ !
3. Hitung koefisien korelasi ganda Y atas X_1, X₂, dan X₃ serta uji signifikansinya !
4. Berdasarkan tabel pada soal nomor 4 maka:
   1. Lakukan pengujian signifikansi koefisien persamaan regresi ganda Y atas X_1, X₂, dan X₃ !
   2. Jika hasil uji signifikansi persamaan regresi pada bagian (d) tidak signifikansi, lakukan pengujian dengan langkah-langkah standar dalam analisis regresi komponen utama !
5. Data hasil penelitian tentang Kompetensi Inti (X₁), Kemampuan Manajerial (X₂), Komitmen Mutu (X₃), dan Penatakelolaan Perguruan Tinggi (Y), disajikan sebagai berikut.

1. Tuliskan persamaan/model regresi linear ganda (jamak)
2. Tuliskan hipotesis statistik, kemudian lakukan uji signifikansi (keberartian) koefisien persamaan regresi melalui uji β (beta):
3. Pengaruh positif Kompetensi Inti (X₁) Terhadap Penatakelolaan Perguruan Tinggi (Y), tafsirkan!
4. Pengaruh positif Kemampuan Manajerial (X₂) Terhadap Penatakelolaan Perguruan Tinggi (Y), tafsirkan!
5. Pengaruh positif Komitmen Mutu (X₃) Terhadap Penatakelolaan Perguruan Tinggi (Y), tafsirkan!
6. Pengaruh Kompetensi Inti (X₁), Kemampuan Manajerial (X₂), Komitmen Mutu (X₃) secara simultan Terhadap Penatakelolaan Perguruan Tinggi (Y).
7. Berdasarkan hasil pengujian hipotesis, berikan rekomendasi variabel mana yang seharusnya diprioritaskan (urutan variabel bebas) untuk memperbaiki Penatakelolaan Perguruan Tinggi !
8. Diberikan data koefisien korelasi sebagai berikut.

1. Tentukan korelasi parsil
2. Tentukan korelasi parsil
3. Berdasarkan soal nomor 7, tentukan korelasi parsil
4. Peneliti akan menguji hubungan antara usia (X₁), persepsi pada terapi (X₂), dan kedalaman beragama (X₃) dengan ketabahan menghadapi penyakit (Y) pada pasien paru-paru di Rumah Sakit Umum Tangerang. Data yang diperoleh adalah sebagai berikut :

1. Hitunglah persamaan regresinya.
2. Uji signifikansinya.
3. Berdasarkan soal nomor 9 tentukan :
4. Sumbangan relatif dan efektifnya !
5. Koefisien korelasinya !
6. Kesimpulan penelitian yang dihasilkan !

Perhatikanlah lebih saksama pada karakter Anda dibandingkan reputasi Anda, karena karakter Andalah yang menyatakan siapa diri Anda yang semestinya, sedangkan reputasi Anda hanyalah apa yang orang lain pikirkan mengenai Anda.

John Wooden