PENDUGAAN PARAMETER

BAB XIV

PENDUGAAN PARAMETER

Beberapa orang memiliki beribu-ribu macam alasan mengapa mereka tidak

mampu melakukan apa yang mereka ingin lakukan, satu hal yang mereka

butuhkan adalah satu alasan mengapa mereka mampu.

William Whitney

Pembahasan Materi

Bab ini membahas tentang pemahaman konsep pendugaan parameter, kriteria penduga yang baik, berbagai jenis pendugaan parameter, pendugaan rata-rata populasi, pendugaan satu rata-rata populasi, pendugaan beda dua rata-rata, pendugaan parameter binom atau proporsi, pendugaan selisih dua parameter binom atau proporsi, pendugaan ragam atau varian, pendugaan rasio dua ragam atau varian, batas toleransi.

• Pendahuluan

Setiap orang pasti pernah membuat prakiraan atau prediksi atau dugaan. Contoh konkretnya terjadi pada saat kita menyeberang jalan, kita seringkali memprediksi atau memperkirakan jarak kendaraan dengan posisi kita berada, kecepatan kendaraan tersebut, serta mengukur kecepatan kita saat berjalan menyeberangi jalan. Sama halnya dengan seorang manajer sebuah perusahaan, yang seringkali dituntut untuk membuat prediksi atau dugaan yang rasional ketika berhadapan dengan suatu kondisi yang penuh ketidakpastian, tanpa informasi yang lengkap. Agar dapat menjalankan tugas tersebut dengan baik, seorang manajer harus menguasai konsep pendugaan parameter dengan baik.

Statistik inferensia atau statistik induktif adalah pengambilan kesimpulan mengenai nilai sebenarnya dari parameter (yang dihitung berdasarkan populasi) yang didasarkan atas perhitungan sampel, sehingga kesimpulan tersebut mengandung unsur ketidakpastian (uncertainty factor). Artinya kesimpulan tersebut dapat benar dan dapat juga salah. Hal ini disebabkan karena data yang digunakan adalah data pendugaan atau estimasi dari sampel yang mengandung kesalahan dalam penarikan sampel. Statistika inferensia (induktif) mempersoalkan tentang bagaimana secara menduga atau menguji hipotesis tentang parameter populasi yang belum diketahui, dengan menggunakan contoh acak dan hitung peluang.

Dugaan terhadap parameter populasi dapat berupa pendugaan titik (point estimation) dan dapat juga berupa pendugaan selang (interval estimation). Pendugaan titik adalah pendugaan yang didasarkan pada keyakinan yang pasti mengurai nilai penduga terhadap parameternya. Jika kita menduga dengan sampel, diharapkan nilainya akan sama dengan nilai populasinya. Tetapi hal ini mempunyai resiko penyimpangan, ditunjukkan dengan tingkat kesalahan atau error (Sunyoto, 2010).

Dugaan titik misalnya: 1. Rata-rata gaji pegawai negeri sipil Rp 800.000,- per bulan sedang contoh dari dugaan selang misalnya rata-rata gaji pegawai negeri berkisar antara Rp 700.000,- dan Rp 1.500,000,- per bulan. 2. Rata-rata penghasilan perbulan perorang sebesar Rp 550.000,- (sebagai estimator atau penduga dari µ), rata-rata nilai statistik probabilitas dari mahasiswa sebesar 87,50 (sebagai estimator atau penduga dari µ), jumlah karyawan yang merasa puas dengan kondisi kerja sebanyak 45% atau 0,45 (sebagai estimator atau penduga dari P). Dari sampel yang diambil mempunyai tingkat penyimpangan sebesar 5% (sebagai estimator atau penduga dari ).

Pada pendugaan titik, sebuah nilai (dari hasil analisis sampel) digunakan untuk menduga ukuran atau parameter populasi yang ingin diketahui. Pada pendugaan interval, suatu interval nilai digunakan untuk menduga parameter populasi. Sebagai contoh, untuk menduga usia rata-rata mahasiswa dalam sebuah perguruan tinggi swasta. Dari sampel acak sebanyak 50 mahasiswa, rata-rata berusia 23 tahun. Pada pendugaan titik, nilai 23 tersebut digunakan untuk menduga usia rata-rata populasi, sedangkan pada pendugaan interval kita membentuk suatu nilai interval pendugaan yang dikembangkan dari nilai 23 tersebut. Katakanlah interval pendugaan tersebut adalah 23 ± 1 tahun. Dengan demikian, kita dapat memperkirakan bahwa rata-rata usia populasi berkisar antara 22 sampai dengan 24 tahun. Pendugaan titik mempunyai taraf keyakinan yang sangat tinggi atau pasti terjadi, sehingga memastikan bahwa nilai penduga = nilai parameter. Hal demikian sebenarnya mempunyai tingkat risiko kesalahan yang mungkin terjadi.

Dalam praktek, pendugaan titik yang hanya satu angka tidak memberikan gambaran tentang jarak atau selisih nilai penduga terhadap nilai yang sebenarnya. Hal ini disebabkan karena sesuatu nilai sangat dimungkinkan adanya penyimpangan dimana yang diharapkan tidak sama dengan kenyataan. Karena itu untuk memperkecil tingkat kesalahan yang terjadi dalam pendugaan terhadap nilai variabel tertentu lebih baik menggunakan pendugaan interval, yaitu pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut nilai batas bawah dan nilai batas atas. Interval demikian disebut interval keyakinan.

            Penelitian ilmiah pada umumnya didasarkan pada sampel dari suatu populasi. Penelitian ini menghasilkan nilai rata-rata dan standar deviasi. Jika penelitian dilakukan lagi terhadap sampel pada populasi tersebut, maka akan diperoleh nilai rata-rata dan standar deviasi lagi. Jika penelitian tersebut diulang-ulang dengan sampel yang berbeda dari populasi yang sama, maka akan diperoleh sejumlah mean dan sampel. Mean-mean sampel tersebut dapat dihitung rata-ratanya, sehingga menjadi mean dari mean, dan mean dari mean ini akan mendekati mean populasi. Pekerjaan ini tentunya tidak efisien, maka peneliti cukup mengambil satu sampel sebagai dasar inferensi pada populasi. Berkaitan dengan mean tersebut adalah konsep standar kesalahan mean (standard error of mean). Standar kesalahan mean adalah suatu estimasi atau pendugaan tentang standar deviasi dari suatu distribusi mean-mean yang diperoleh dari sampel-sampel random secara terus-menerus dari populasinya.

• Parameter dan Statistik

Pengumpulan data bertujuan untuk menarik kesimpulan tentang populasi dari mana data sampel itu diambil. Di dalam suatu populasi terdapat satuan-satuan (ukuran) kuantitatif yang disebut parameter. Selanjutnya di dalam sebuah sampel acak terdapat satuan-satuan kuantitatif yang disebut statistik. Beberapa ukuran-ukuran dalam populasi dan sampel disajikan dalam tabel 14.1 berikut (Kadir, 2015):

Tabel 14.1. Ukuran Parameter dan Statistika

          Dari tabel  di atas, menunjukkan bahwa ukuran rata-rata standar deviasi, varians, korelasi, proposi, dan koefisien regresi pada populasi masing-masing dinyatakan dengan parameter: µ, ơ, ơ², Ρ, ϴ, dan β.  Sedangkan ukuran rata-rata, standar deviasi, varians, korelasi, proporsi, dan koefisien regresi pada sampel masing-masing dinyatakan dengan statistika :  , s, s², r, , dan b.  Penjelasan tersebut menunjukan bahwa salah satu kegiatan dalam statistika inferensial adalah melakaukan estimasi terhadap parameter-parameter populasi berdasarkan data sampel atau statistika. Kegiatan penting lainnya adalah pengujian hipotesis berdasarkan data sampel untuk menggeneralisasi populasi.

• Estimasi atau Pendugaan Parameter

Pada dasarnya kesimpulan tentang populasi dinyatakan dalam bentuk estimasi atau pendugaan terhadap satu atau beberapa parameter. Karena umumnya kita bekerja pada sampel, maka harga statistika dari suatu sampel itulah yang kita gunakan untuk membuat estimasi harga parameter dipopulasi. Harga statistika itu pula yang kita namakan penduga atau estimator. Ketepatan estimator menjalankan fungsinya mengestimasi parameter bergantung pada besar kecilnya jarak antara harga statistik dan harga parameter. Jarak ini biasa disebut kekeliruan atau galat baku atau standard error. Oleh karena itu, sebagai pengantar untuk mengawali pembahasan estimasi parameter terlebih dahulu diperkenalkan tentang kekeliruan baku atau galat baku.

• Galat Baku (Standar Error)

Galat baku juga diartikan sebagai tingkat kemelesetan. Oleh karena itu, makin kecil galat baku, makin kecil tingkat kemelesetan sehingga tingkat keyakinan (kepercayaan) hasil estimasi terhadap parameter populasi semakin tinggi. Berdasarkan teorema limit sentral,  menunjukkan bahwa rata-rata dari distribusi rata-rata sampel acak akan sama dengan rata-rata populasi atau nilai harapan dari`X atau ditulis : µ, Standar deviasi dari distribusi rata-rata sampel sama dengan kekeliruan baku dari X, yang biasa ditulis dengan s_x =  . Dengan demikian, kekeliruan baku (jarak baku) antara X dan µ ditulis s_x ==   disebut galat baku rata-rata populasi dari nilai harapan X atau disebut standard error. Sebagai ilustrasi dapat ditunjukkan perhitungan galat baku (standard error) pada contoh berikut.

Contoh 1       

Misalkan sebuah populasi beranggotakan 2 bilangan, yaitu bilangan 3 dan 5. Akan dibuat distribusi rata-rata sampel berukuran 3(n=3). Perlihatkan bahwa rata-rata dari distribusi rata-rata sampel adalah µ, kemudian tentukan galat bakunya. Untuk menjawab soal ini terlebih dahulu dibuat ruang sampel dengan teknik diagram pohon, yaitu S = {(3,3,3), (3,3,5), (3,5,3), (3,5,5), (5,3,3), (5,3,5), (5,5,3), (5,5,5)}. Hasil perhitungan disajikan sebagai berikut.

Dari tabel di atas dapat ditentukan rata-rata dari distribusi rata-rata sampel adalah X = (1×3 + 3×3,667 + 3×4,333 + 1×5)/8 = 4 dan rata-rata populasi: µ = (3+5)/2 = 4, sedangkan standar revisi populasinya ditentukan oleh rumus:

 , dimana,  = –  = (3² + 5²) –  = 2

Standar deviasi populasi  =  = 1. Sehingga galat baku atau standard error adalah: s_x=   =  .Dari contoh sederhana di atas terlihat bahwa rata-ratanya membentuk distribusi peluang, dimana rata-rata dari rata-rata sampel adalah sama dengan rata-rata populasi. Berdasarkan distribusi sampling, maka standard error dari rata-rata, proporsi, median, dan standar deviasi disarikan pada tabel berikut.

Tabel 14.2. Formula Standard error Beberapa Parameter

Keterangan:
µ  = rata-rata populasi,                        s_x           = Standar error perbedaan 1- rata-rata
ϴ = rata-rata populasi,                        S_{(x1-x2  )} = Standar error perbedaan 2- rata-rata
ɸ = median populasi,                           Sp        = Standar error 1- proporsi
s = standar deviasi populasi,              S_(p1-p2) = Standar error 2- proporsi
s  = standar deviasi sampel,                Se_md    = Standar error median
N = cacah populasi,                             Se        = Standar error standar deviasi
n = cacah sampel/dat                          p         = proporsi sampel
q = 1 – p

Contoh 2

Dari 800 mahasiswa suatu universitas, terpilih 25 mahasiswa sebagai sampel. Hasil perhitungan data sampel diperoleh, s = 4,08. Tentukan standar error rata-rata (mean), proporsi, median, dan standar error standar deviasi (SD).

Diketahui  p = 25/800 = 0,0313           q = 1 – p = 1 – 0,0313 = 0,987.

Sehingga diperoleh:

s_x      =   

  =  = 0,1816 (standard error mean)
          S_p    =  

   =  = 0.0000386 = (standard error proporsi)
          Se_md =  

= = 1,022 (standard error median)
          Se_s      =   

=  = 0,577

• Karakteristik Estimator

Pendugaan bertujuan untuk mendapatkan gambaran yang jelas tentang ciri-ciri populasi yang tidak diketahui dengan menggunakan informasi contoh atau penduga (estimator). Agar ciri-ciri atau parameter populasi dapat ditampilkan dengan jelas dan benar maka penduga yang digunakan harus merupakan penduga yang terbaik. Statistik sampel yang digunakan untuk menduga parameter populasi dikatakan terbaik apabila memiliki ciri-ciri sebagai berikut (Partino, 2010):

1. Tak bias (unbiasedness). Suatu penduga dapat dikatakan tak bias apabila nilai harapan dari penduga tersebut adalah sama dengan nilai parameter yang diduga. Dengan kata lain, suatu estimator disebut tak bias jika rata-rata dari rata-rata sampel acak sama dengan parameter populasi. Seperti: , , . Misalnya setiap sampel acak berukuran n₁, n₂, n₃, n₄, n₅, …..n_k rata-ratanya adalah`x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>, x<sub>3</sub>, ….`x_k, maka rata-rata dari rata-rata sampel adalah`X = = µ. Hal ini berarti bahwa rata-rata dari rata-rata sampel acak adalah sama dengan rata-rata dari populasi (µ). Demikian pula varians sampel (s²) adalah estimator tak bias bagi varians populasi (s²).
2. Efisiensi (efficiency). Jika ada beberapa penduga tak bias, maka penduga yang mempunyai ragam terkecil merupakan penduga yang paling efisien. Jadi makin kecil ragam dari suatu penduga, maka penduga tersebut makin efisien. Misalkan suatu estimator (E ) pada sampel acak n dan estimator (E ) pada sampel acak Estimator E dikatakan efisien jika variansnya relatif lebih kecil dari E. Dengan demikian, bahwa estimator dari sampel acak yang diambil secara berulang-ulang pada populasi sama akan merupakan estimator yang efisien atau yang terbaik (the best) bila estimator tersebut memiliki varians yang relatif paling kecil disbanding varians estimator lainnya.
3. Kecukupan (surfficiency). Suatu penduga selain tak bias dan efisien masih ada kriteria lain yaitu bahwa penduga tersebut harus mengandung semua informasi tentang parameter populasi atau dengan kata lain penduga tersebut harus mempunyai syarat kecukupan. Dalam hal ini, median dan modus bukanlah merupakan penduga yang berkecukupan karena hanya mencakup satu nilai pada pertengahan data yang telah diurutkan atau nilai yang mempunyai frekuensi tertinggi.
4. Konsistensi (consistency). Ciri penduga terbaik yang keempat adalah bahwa penduga harus konsisten. Suatu penduga dikatakan konsisten apabila jumlah kuadrat galatnya mendekati nol kalau ukuran contoh mendekati tak terhingga. Dengan kata lain, suatu estimator disebut konsisten apabila penambahan jumlah sampel menyebabkan harga estimator tersebut semakin dekat dengan harga parameter yang diestimasi. Hal ini berarti bahwa semakin besar sampel yang digunakan maka semakin dekat harga estimator terhadap harga parameter populasi yang diestimasi. Sehingga estimator tersebut disebut konsisten. Sebagai contoh sampel berukuran n = 80 akan memiliki jarak atau selisih nilai rata-ratanya lebih dekat ke rata-rata populasi dibandingkan dengan sampel berukuran n = 50. Suatu sampel acak berukuran n_1, n_2, n₃ dari suatu populasi yang sama maka varians sampel acak s_1, s₂ dan s₃ dikatakan estimator yang konsisten bila selisih ketiga varians tersebut adalah (s₁² – s²) > (s₂² – s²) > (s₃²-s²).

Berdasarkan kriteria tersebut,  (rata-rata sampel),  (proporsi sampel), dan s (standar deviasi sampel), masing-masing merupakan penduga yang baik untuk  (rata-rata populasi), P (proporsi populasi), dan  (standar deviasi populasi). Estimator atau penduga adalah merupakan fungsi dari nilai observasi data sampel dengan n elemen. Misalnya rata-rata nilai statistika dari sejumlah mahasiswa adalah sebesar 7,35, maka rata-rata:`X = 7,35 adalah penduga atau estimator bagi rata-rata seluruh mahasiswa (µ). Parameter biasanya jarang diketahui nilainya, karenanya harus diperkirakan (estimated).

Misalnya (1) berapa lembar saham harus dicetak untuk dijual dapat diestimasi jumlah permintaan masyarakat, (2) Departemen Kehakiman memiliki sejumlah perkara yang harus diputuskan, dapat diestimasi jumlah hakim yang dibutuhkan, dan (3) Departemen Pendidikan dan Kebudayaan mengangkat sejumlah calon guru dapat diestimasi berdasarkan jumlah murid dan usia sekolah. Metode estimasi atau pendugaan terhadap parameter dapat dibedakan atas dua, yaitu estimasi atau pendugaan terhadap parameter dapat dibedakan atas dua, yaitu: estimasi tunggal atau satu nilai dan estimasi interval atau estimasi yang dibatasi oleh dua nilai yang akan dijelaskan sebagai berikut:

1. Estimasi tunggal. Suatu estimasi tunggal adalah estimasi atau pendugaan yang hanya memuat satu nilai saja. Misalnya rata-rata pengeluaran per hari dari setiap keluarga adalah sebanyak Rp 100.000,- Hal ini berarti bahwa`x = Rp 100.000,- adalah estimator dari µ. Begitu pula persentase banyaknya barang rusak yang diambil dari suatu box sebesar 12%. Dengan demikian, proposi sampel (p) = 12% adalah estimator parameter populasi ϴ.
2. Estimasi Interval. Estimasi atau pendugaan interval adalah suatu estimasi yang dibatasi oleh dua nilai atau interval (selang). Nilai tersebut berupa batas bawah dan batas atas. Misalnya, rata-rata suhu disuatu kota antara 25° – 41°. Kita mengharapkan bahwa suhu sesungguhnya akan terletak di dalam interval tersebut. Interval yang demikian biasa disebut interval keyakinan (confidence interval). Estimasi yang dinyatakan dalam bentuk kontinum nilai dalam suatu interval akan memiliki tingkat kemelesetan lebih kecil dibandingkan dengan estimasi yang dinyatakan dalam suatu angka saja (tunggal)

Besarnya tingkat kemelesetan, misalnya dalam kegiatan mengestimasi rata-rata populasi dari rata-rata populasi dari rata-rata sampel bergantung kepada besarnya perbedaan antara sampel satu dengan sampel lain dalam populasi yang bersangkutan. Tingkat kemelesatan dinyatakan dengan galat, sehingga tingkat galat estimasi rata-rata populasi dari rata-rata sampel bergantung kepada variasi distribusi rata-rata sampel. Estimasi interval sampel besar, dianggap mendekati distribusi normal.

• Dugaan Selang bagi jika  Diketahui

            Dugaan selang bagi rataan populasi jika ragamnya diketahui dapat diketahui dengan memperhatikan Gambar 14.1. Berikut:

Gambar 14.1. Kurva Pendugaan Selang Rataan Populasi Jika Ragamnya Diketahui

 koefisien atau tingkat kepercayaan.

Persamaan di atas dijabarkan diperoleh:

Berdasarkan persamaan peluang tersebut, selang kepercayaan bagi  apabila nilai  diketahui  Selang kepercayaan  bagi  dapat dirumuskan sebagai berikut:

Rumus 14.1

Pada persamaan tersebut diatas,  (simpangan baku populasi) bisa diketahui. Tetapi jika  tidak diketahui, dan , maka  dapat diganti dengan s (simpangan baku contoh), sedangkan jika , maka persamaan tersebut tidak berlaku.

Contoh 3.

Perusahaan RST memproduksi kotak bahan makanan dengan berat bersih menyebar normal dengan simpangan baku  gram. Dari produksi tersebut dipilih satu contoh acak berukuran 25, setelah ditimbang dengan seksama diperoleh berat bersih rata-rata  gram. Tentukan selang kepercayaan 95% dan 99% bagi rataan berat kotak tersebut.

Jawab

• Selang kepercayaan 95%.

Artinya dapat dipercaya 95 persen bahwa rataan berat kalor yang diproduksi oleh perusahaan RST terletak antara 354,12 dan 365,88 gram.

Pernyataan selang tersebut di atas juga dapat dinyatakan sebagai berikut:

• dalam selang (354,12 ; 365,88) atau
• 354,12 dan  365,88

 batas kiri dan  batas kanan.

• Selang kepercayaan 99%.

Berdasarkan kedua jawaban tersebut di atas dapat dilihat bahwa panjang selang kepercayaan 99% lebih panjang dibandingkan dengan selang kepercayaan 95%. Hal ini berlaku umum bahwa semakin tinggi tingkat kepercayaan, panjang selang kepercayaan semakin panjang, atau jika hendak menduga  dengan tingkat ketelitian (keakuratan) lebih tinggi diperlukan selang kepercayaan lebih panjang.

Contoh 4.

Dari 36 hasil nilai ujian statistika yang telah dipilih secara acak diperoleh rata-rata 2,6 dengan simpangan baku 0,3. Tentukan selang kepercayaan 95 persen bagi rataan seluruh nilai ujian statistika tersebut.

Jawab

Pada teladan ini besarnya  tidak diketahui, akan tetapi karena , maka  pada persamaan 3 dapat diganti dengan . Dengan demikian selang kepercayaan bagi  dapat dihitung sebagai berikut:

Jika  benar-benar merupakan nilai pusat selang kepercayaan atau , maka  merupakan penduga bagi  tanpa kesalahan. Akan tetapi hal semacam ini hampir tidak pernah terjadi. Selalu saja terdapat selisih antara  dan . Selisih antara  dan  disebut galat  dugaan titik, yang dapat diperoleh seperti gambar 14.2.

Gambar 14.2. Galat Dugaan bagi

Galat percontohan  adalah sama dengan:

Dalil. Jika  digunakan untuk menduga , maka dapat dipercayakan  bahwa galat tidak lebih dari:

Rumus 14.2.

Dalil. Jika  digunakan untuk menduga , maka dapat dipercaya  bahwa galat tidak lebih kecil dari w jika ukuran contoh:

Rumus 14.3.

Contoh 5.

Suatu proses produksi menghasilkan produk harian dengan simpangan baku  ton. Seorang statistisi ingin menduga rataan produk harian  dengan tingkat kepercayaan 95% dan galat tidak lebih dari 2,5 ton. Tentukan ukuran contoh yang diperlukan.

Jawab.

sehingga ukuran contoh yang diperlukan adalah:

perlu diingat bahwa rumus (3) berlaku apabila ukuran populasi cukup besar. Akan tetapi apabila ukuran populasi terhingga dan ukuran contoh kurang dari 10% dari ukuran populasi, maka perlu menggunakan faktor koreksi yaitu:

Rumus 11.4.

Contoh 6.

Suatu contoh acak berukuran 18 dipilih dari populasi normal berukuran 145 dengan simpangan baku . Jika rata-rata contoh acak 84,6; tentukan selang kepercayaan 99% bagi rataan populasi tersebut.

Jawab

• Dugaan Selang bagi jika  Tidak Diketahui dan

Jika simpangan baku populasi tidak diketahui dan ukuran contoh kurang dari 30, maka dugaan selang bagi rataan populasi ditentukan dengan menggunakan sebaran t. Prosedur penentuan selang kepercayaan bagi dugaan menggunakan sebaran t dapat terlihat pada Gambar 14.3 berikut.

Gambar 11.3. Kurva Pendugaan Bagi Rata-rata dan Ragam dengan Jumlah Data Kecil

Setelah dijabarkan diperoleh:

Rumus 14.5.

Berdasarkan atas hasil penjabaran tersebut, dapat disusun selang kepercayaan bagi  jika  tidak diketahui dan  sebagai berikut.

Selang kepercayaan  bagi  jika  tidak diketahui dan  adalah:

Rumus 14.6.

 nilai sebaran t dengan derajat bebas  dan pada sebelah kanannya terdapat luasan .

Contoh 7

Suatu contoh acak berukuran 20 dipilih dari suatu populasi. Setelah statistik contoh dihitung diperoleh rata-rata 200 dengan simpangan baku sebesar 60. Tentukan selang kepercayaan 98 persen bagi rataan populasi.

Jawab

 dan derajat bebas

selang kepercayaan 98% ⟶

Selang kepercayaan 98% bagi  adalah:

• Pendugaan Beda Dua Rata-Rata Populasi

Dugaan titik bagi beda rataan populasi , dapat dilakukan dengan mengambil contoh dari masing-masing populasi. Misalkan dari populasi pertama dipilih satu contoh acak berukuran  dengan rata-rata  dan dari populasi kedua dipilih satu contoh acak berukuran  dengan rata-rata . Penduga titik bagi  adalah . Penduga selang bagi  dapat dihitung dengan menggunakan rumusan selang kepercayaan sebagai berikut:

• Kedua populasi menyebar atau mendekati normal dengan ragam diketahui atau kedua ukuran contoh yang digunakan lebih atau sama dengan 30

Selang kepercayaan  bagi  jika  dan  diketahui adalah:

Rumus 14.7.

Jika  dan  tidak diketahui tetapi  dan , maka  dapat diganti dengan  dan  dapat diganti dengan  pada rumusan di atas.

Contoh 8

Suatu contoh acak berukuran 25 mempunyai rata-rata  dipilih dari populasi normal dengan simpangan baku . Contoh acak kedua berukuran 36 mempunyai rata-rata  dipilih dari populasi normal yang lain dengan simpangan baku . Tentukan selang kepercayaan 94% bagi .

Jawab

Contoh 9

Satu jenis barang tertentu diproduksi oleh perusahaan A dan B. Masa pakai barang tersebut baik yang diproduksi oleh perusahaan A maupun yang diproduksi oleh perusahaan B menyebar normal. Satu contoh acak berukuran 150 unit dipilih dari produk yang diproduksi oleh perusahaan A, diperoleh rata-rata masa pakai selama 1.400 jam dengan simpangan baku 80 jam. Pada contoh acak kedua perukuran 100 unit dipilih dari produk yang diproduksi oleh perusahaan B, diperoleh rata-rata masa pakai selama 1.300 jam dengan simpangan baku 70 jam. Tentukan selang kepercayaan 95 persen bagi selisih masa pakai produksi perusahaan A dan B.

Jawab

• Kedua populasi menyebar normal dan diasumsikan seragam nilai ragam tidak diketahui dan ukuran contoh ada yang kurang dari 30.

Jika  dan  merupakan rata-rata contoh acak berukuran  dan  (ada satu atau kedua-duanya kurang dari 30) masing-masing dipilih dari dua populasi normal yang diperkirakan seragam, besar ragam tidak diketahui, maka selang kepercayaan  bagi  adalah:

Rumus 14.8.

 nilai sabaran t dengan derajat bebas.  yang sebelah kanannya terdapat luasan .

Contoh 10

Dua contoh acak masing-masing dipilih dari dua populasi A dan B yang seragam dan menyebar normal. Hasil dari pengamatan contoh tersebut adalah sebagai berikut.

Tabel 14.3. Hasil Pengamatan Contoh Populasi A dan Populasi B

Berdasarkan pengamatan contoh, tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rataan populasi A dan B.

Jawab

Berdasarkan pada contoh di atas setelah dihitung diperoleh:

• Contoh dari populasi A:
• Contoh dari populasi B:
  • Kedua populasi menyebar normal, keragamannya tidak dapat diperkirakan dan ukuran kedua contoh acak yang digunakan ada satu atau keduanya kurang dari 30.

Jika  dan  merupakan rata-rata contoh acak berukuran  dan  (ada yang kurang dari 30) dengan ragam berturut-turut  dan  dipilih dari dua populasi normal atau mendekati normal dengan ragam yang tidak dapat diperkirakan, maka selang kepercayaan  bari  adalah:

Rumus 14.9.

 nilai sebaran t yang sebelah kanannya terdapat luasan dengan derajat bebas.

Rumus 14.10.

Conroh 11

Suatu contoh acak berukuran 15 menunjukkan rata-rata 4,93 dengan simpangan baku 1,14 dipilih dari populasi A. Contoh acak kedua berukuran 10 menunjukkan rata-rata 2,64 dengan simpangan baku 0,66 dipilih dari populasi B. Jika kedua populasi menyebar mendekati sebaran normal, tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rataan dari populasi A dan B.

Jawab

Derajat bebas:

dibulatkan : v = 23

• Ragam kedua populasi tidak sama dan kedua contoh yang digunakan tidak bebas.

Dua contoh acak tidak bebas terjadi jika kedua contoh saling terkait, misalnya dari suatu populasi yang hampir seragam dipilih dua contoh acak yang berukuran sama, kemudian masing-masing contoh diberi perlakuan yang berbeda. Tiap-tiap unsur contoh yang satu dipasangkan dengan unsur dari contoh yang kedua, kemudian selisihnya dicatat. Keadaan dengan perlakuan pertama merupakan populasi pertama dan lainnya merupakan populasi yang kedua (Richard Lungan, 2006) .

            Pendugaan dengan beda berpasangan biasanya digunakan untuk mengetahui seberapa jauh perbedaan antara satu metode dengan metode lainnya. Jika  dan  merupakan rata-rata dan simapangan baku dari selisih n pada pengamatan berpasangan, maka selang kepercayaan  bagi  adalah:

Rumus 14.11.

 nilai sebaran t yang sebelah kanannya terdapat luas  dengan derajat bebas  banyaknya pasangan.

Contoh 12

Sekelompok mahasiswa terdiri dari 20 orang dengan tingkat pengetahuan dan IQ yang hampir sama dibagi menjadi 10 pasang. Dari setiap pasangnya, yang satu masuk ke dalam kelas terprogram sedang yang lainnya masuk dalam kelas biasa. Pada akhir semester kedua kelompok diberikan soal ujian dengan mater yang sama. Hasil ujian dari kedua kelompok tersebut dapat kita lihat pada tabel berikut.

Tabel 14.4. Hasil Ujian dari Kedua Kelompok Mahasiswa

Pertanyaan. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi rataan nilai populasi kelas terprogram dan kelas biasa.

Jawab

Misalkan          rataan nilai populasi kelas terprogram.

                         rataan nilai populasi kelas biasa.

Dari data pada tabel di atas dapat diperoleh rata-rata  dan simpangan baku

Selang kepercayaan 95% bagi  adalah:

• Pendugaan Parameter Proporsi (Binom)

Persentase adalah proporsi dikali seratus persen. Perkiraan proporsi ini sangat penting, misalnya dalam penelitian pendapat umum untuk mengetahui berapa persen yang setuju dengan calon presiden; dalam pemasaran berapa persen dari ibu rumah tangga yang akan membeli mesin jahit; berapa persen barang produksi yang rusak; berapa persen penduduk suatu daerah yang masih buta huruf; berapa persen karyawan suatu perusahaan yang malas; berapa persen nasabah suatu bank yang tidak puas dengan layanan bank tersebut; dan lain sebagainya. Di dalam setiap penelitian, elemen populasi atau sampel dapat dikategorikan sesuai dengan karakteristik tertentu. Misalnya elemen populasi atau sampel tersebut dibagi menjadi dua kelompok atau kategori, yaitu kelompok elemen yang mempunyai atau tidak mempunyai karakteristik tertentu. Contohnya barang dikategorikan menjadi rusak dan tidak rusak; pemilih dikelompokkan menjadi setuju dan tidak setuju; ibu rumah tangga dikelompokkan menjadi mau membeli televisi dan tidak mau, dan lain sebagainya.

Dugaan titik bagi parameter binom  adalah statistik , dimana x merupakan banyaknya sukses dalam n ulangan.

Jika  merupakan proporsi sukses dan  proporsi gagal dalam selang contoh berukuran n, maka selang kepercayaan  bagi parameter binom p adalah:

Rumus 14.12.

 nilai sebaran z ; n = ukuran contoh (n sekurang-kurangnya 30). Jika  digunakan sebagai penduga titik bagi p, maka dapat dipercaya  bahwa galatnya tidak lebih dari:

Contoh 13.

Toko Sumber Jaya menerima barang dari PT. ABC. Dari keseluruhan barang tersebut kemudian dipilih 81 unit secara acak dan setelah diperiksa ternyata terdapat 8 unit yang cacat. Tentukan selang kepercayaan 90% bagi proporsi barang cacat dari perusahaan ABC tersebut.

Jika  merupakan penduga p, maka dapat dipercaya  bahwa galat lebih kecil dari bilangan tertentu e jika ukuran contoh:

Rumus 14.13.

Jika  merupakan penduga , maka dapat dipercaya paling kurang  bahwa galat lebih kecil dari bilangan tertentu e jika ukuran contoh:

Rumus 14.14.

Contoh 14

Suatu contoh acak berukuran  rumah tangga pemilik  di suatu kota. Berdasarkan contoh ini kemudian diketahui bahwa terdapat 340 pemilik TV berwarna.

Pertanyaan:

• Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi pemilik TV berwarna di kota tersebut.
• Tentukan ukuran contoh yang diperlukan jika tingkat kepercayaan 95% bahwa dugaan p meleset kurang dari 0,02.
• Tentukan ukuran contoh yang diperlukan jika tingkat kepercayaan paling kurang 95% bahwa galat lebih kecil dari 0,02.

Jawab

• Pendugaan Selisih Dua Parameter Proporsi (Binom)

Misalkan terdapat dua contoh acak berukuran  dan  masing-masing dipilih dari dua populasi binom dengan parameter  dan .

            Jika  dan  cukup besar  maka penduga titik bagi selisih  adalah  dengan galat paling besar.

 dan

Jika  dan  merupakan proporsi dua contoh acak berukuran  dan  yang dipilih dari dua populasi binom dengan parameter  dan , maka selang kepercayaan  bagi  adalah:

Rumus 14.15.

Contoh 15

Sebuah perusahaan kimia pembuat dua jenis bahan pembunuh serangga yakni jenis A dan B. Untuk keperluan penelitian, kemudian dibuatlah dua ruangan dengan kondisi yang sama, yakni sama-sama dapat diisi dengan 1.000 ekor lalat. Setelah kedua ruangan tersebut masing-masing diisi lalat (100 ekor), ruang A selanjutnya disemprot dengan racun serangga A dan ruang B disemprot dengan racun serangga B. Beberapa saat kemudian diketahui bahwa dalam ruang A terdapat 825 ekor lalat yang mati, dan para ruangan B terdapat 760 ekor. Tentukan selang kepercayaan 95% bagi beda proporsi kematian lalat oleh bahan A dan B.

Jawab

Jadi interval antara 2,95 persen dan 10 persen akan memuat perbedaan persentase mengenai pembuatan dua jenis bahan pembunuh serangga yakni jenis A dan jenis B, dengan probabilitas sebesar 95 persen.

• Pendugaan Ragam atau Varian

Jika  merupakan ragam atau varian contoh acak berukuran n yang dipilih dari populasi normal, maka selang kepercayaan  bagi  adalah:

Rumus 14.16.

 dan  adalah nilai dari  dengan derajat bebas.

 yang sebelah kanannya terdapat luasan berturut-turut  dan .

Contoh 16

Seorang direksi pabrik semen ingin mengetahui tentang kualitas beton yang dibuat dari produknya. Untuk maksud tersebut dia memilih satu contoh acak berukuran . Rata-rata contoh  kg/cm² dengan ragam . Tentukan selang kepercayaan 95% bagi rataan dan ragam kualitas beton yang dibuat dari produknya.

• Selang kepercayaan 95% bagi rataan kualitas beton.

Derajat bebas dengan

• Selang kepercayaan 95% bagi .
  • Pendugaan Rasio atau Perbandingan Dua Ragam

Jika  dan  merupakan ragam contoh acak bebas berukuran  dan  yang masing-masingnya dipilih dari populasi normal, maka selang kepercayaan  bagi rasio dua ragam populasi normal tersebut adalah:

Rumus 14.17.

 dan  merupakan nilai sebaran f dengan derajat bebas.

 dan , sebelah kanannya terdapat luas .

Contoh 17

Dua contoh acak masing-masing berukuran 25 dan 16, dipilih dari dua populasi yang menyebar normal. Contoh acak pertama mempunyai rata-rata  dengan simpangan baku  dan contoh acak kedua mempunyai rata-rata  dengan simpangan baku . Tentukan selang kepercayaan 98% bagi rasio ragam dan rasio simpangan baku populasi pertama dan kedua.

Jawab

Selang kepercayaan

Akar dari masing-masing ruas pertidaksamaan di atas merupakan selang kepercayaan 98% bagi rasio simpangan baku populasi pertama dan kedua sebagai berikut:

• Batas Toleransi

Batas toleransi merupakan selang kepercayaan yang memuat nilai parameter yang diduga dan proporsi atau persentase tertentu dari semua pengukuran. Yang dimaksud dengan batas toleransi adalah suatu pengukuran yang menyebar normal dengan rataan  dan simpangan baku  yang keduanya tidak diketahui mempunyai batas toleransi:

Rumus 14.18.

 rata-rata contoh     simpangan baku contoh

 suatu nilai sedemikian rupa sehingga dapat dipercaya 100  bahwa batas tersebut mengandung paling sedikit  proporsi pengukuran.

Contoh 18

Terdapat sebuah mesin pemotong tembaga yang berbentuk silinder. Selanjutnya hasil potongan tembaga dari mesin tersebut dipilih 9 potong secara acak. Diameter potongan yang telah terpilih adalah 1,01; 0,99; 1,01; 1,03; 0,97; 1,04; 0,99; 0,98 dan 1,03 cm. Tentukan batas toleransi 99% yang akan mengandung 95% potongan tembaga yang dihasilkan oleh mesin tersebut bila diasumsikan bahwa pengukuran menyebar normal.

Jawab

Dari hasil pengukuran diameter silinder di atas, setelah dihitung diperoleh rata-rata  dengan simpangan baku . Dari Tabel  untuk  dan  diperoleh

Dengan demikian batas toleransi 99% adalah:

Dengan demikian batas toleransi adalah: 0,894 dan 1,117. Artinya bahwa selang toleransi dari 0,894 sampai dengan 1,117 mengandung paling kurang 95% potongan tembaga yang dihasilkan oleh mesin pemotong tersebut dengan selang kepercayaan 99%.

Rangkuman

Pada dasarnya kesimpulan tentang populasi dinyatakan dalam bentuk estimasi atau pendugaan terhadap satu atau beberapa parameter. Karena umumnya kita bekerja pada sampel, maka harga statistika dari suatu sampel itulah yang kita gunakan untuk membuat estimasi harga parameter dipopulasi. Harga statistika itu pula yang kita namakan penduga atau estimator. Ketepatan estimator menjalankan fungsinya mengestimasi parameter bergantung pada besar kecilnya jarak antara harga statistik dan harga parameter. Jarak ini biasa disebut kekeliruan atau galat baku atau standard error.

Pendugaan titik merupakan pendugaan yang didasarkan pada keyakinan yang pasti mengurai nilai penduga terhadap parameternya. Pendugaan interval merupakan pendugaan berupa interval yang dibatasi oleh dua nilai yang disebut nilai batas bawah dan nilai batas atas. Interval keyakinan merupakan rentangan nilai yang dihasilkan melalui prosedur statistik, rentangan nilai semacam ini menunjukkan bahwa nilai yang diestimasi pada taraf keyakinan tertentu yang biasanya 95% atau 99%. Standar kesalahan mean merupakan suatu estimasi atau pendugaan tentang standar deviasi dari suatu distribusi mean-mean yang diperoleh dari sampel-sampel random secara terus-menerus dari populasinya. Rumus-rumus yang digunakan dalam menyelesaikan estimasi ini adalah :

1. Perumusan pendugaan rata-rata populasi bagi µ jika diketahui:

2. Perumusan pendugaan rata-rata populasi bagi µ jika tidak diketahui dan n<30 :
3. Perumusan beda dua rata-rata populasi untuk n₁ dan n₂ ≥ 30 dan ragam diketahui:
4. Perumusan beda dua rata-rata populasi untuk nilai ragam tidak diketahui:
5. Perumusan beda dua rata-rata populasi untuk nilai ragam tidak dapat diperkirakan dan ukuran kedua contoh acak ada satu atau keduanya kurang dari 30:
6. Perumusan pendugaan parameter proporsi:
7. Perumusan pendugaan selisih dua parameter proporsi:
8. Perumusan pendugaan ragam atau varian:

9. Perumusan rasio atau perbandingan dua ragam:

Evaluasi Mandiri

1. Perusahaan ZXY adalah perusahaan yang kegiatan utamanya adalah memproduksi dan menjual bahan makanan dalam kardus. Berat kardus yang berisi bahan makanan menyebar normal dengan simpangan baku 4,5 kg. Suatu contoh acak terdiri dari 25 kardus yang rata-rata mempunyai berat rata-rata 50 kg. Tentukan selang kepercayaan 90, 95, dan 99 persen bagi rataan berat kardus yang berisi bahan makanan tersebut dan kemudian bandingkan ketiga hasil yang telah Anda peroleh.
2. Seratus orang calon mahasiswa STMIK Raharja sebagai sampel acak, yang sudah mengikuti tes IQ, mempunyai rata-rata IQ sebesar 110 dan diketahui mempunyai simpangan baku sebesar 20. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval dari rata-rata IQ.
3. Lima orang mahasiswa Sistem Komputer STMIK Raharja, dipilih secara acak untuk kemudian diukur tingginya. X= tinggi mahasiswa dalam cm. X₁ = 160, X₂ = 170, X₃ = 165, X₄ = 175, X₅ =180. Buatlah pendugaan interval tentang rata-rata tinggi mahasiswa dengan tingkat keyakinan sebesar 95%.
4. Suatu contoh acak terdiri dari 16 batang rokok merek Nikmat yang mempunyai kadar nikotin rata-rata 4 mg dengan simpangan baku 0,9 mg. Tentukan selang kepercayaan 98% bagi rataan kandungan nikotin pada rokok Nikmat tersebut.
5. Suatu populasi menyebar normal dengan simpangan baku 0,3. Jika kita hendak menduga rataan populasi tersebut dengan tingkat kepercayaan 95%, berapakah ukuran contoh yang diperlukan?
6. Seratus empat puluh empat orang karyawan suatu perusahaan yang dipilih secara acak ditanya mengenai besarnya pengeluaran per hari untuk biaya hidup. Ternyata rata-rata pengeluaran per bulan sebesar Rp 20.000 dengan simpangan baku yang diketahui sebesar Rp 6.000.-
7. Hitung pendugaan interval rata-rata pengeluaran dengan tingkat keyakinan sebesar 99%.
8. Hitung pendugaan interval rata-rata pengeluaran dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.
9. Suatu contoh acak berukuran yang dipilih dari populasi normal pertama menghasilkan rata-rata . Contoh acak yang kedua dipilih dari populasi normal kedua menghasilkan rata-rata . Tentukan selang kepercayaan 95% bagi selisih rataan antara populasi pertama dan populasi kedua jika:

• dan
• Kedua populasi diasumsikan seragam dengan: dan .
• Kedua populasi diasumsikan tidak seragam dengan: dan .

8. Sebuah showroom mobil ingin menduga proporsi pelanggan yang masih menggunakan mobil yang telah dibeli dari showroom tersebut sejak 5 tahun yang lalu. Dari contoh acak yang terdiri dari 200 pelanggan terdapat 82 pelanggan yang hingga saat ini masih menggunakan mobil yang dibelinya dari showroom

Pertanyaan:

• Tentukan selang kepercayaan 95% bagi proporsi semua pelanggan yang masih menggunakan mobil yang dibeli dari showroom tersebut sejak 5 tahun yang lalu.
• Berdasarkan informasi di atas, jika ingin percaya 99% bahwa galat tidak lebih dari 0,01 berapakah contoh acak yang diperlukan?
• Jika ingin percaya paling kurang 95% bahwa galat tidak lebih dari 0,015, berapakah ukuran contoh yang diperlukan?

9. Seorang ahli genetika tertarik pada proporsi pria dan wanita dalam populasi yang mengidap kelainan darah tertentu. Pada contoh acak pertama yang terdiri dari 100 orang pria, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 24 orang yang positif terkena kelainan darah tersebut. Pada contoh acak kedua yang terdiri dari 100 orang wanita, setelah diperiksa dengan seksama diperoleh informasi bahwa terdapat 13 orang yang positif terkena kelainan darah tersebut.

Tentukan selang kepercayaan 95% dan 98% bagi selisih proporsi yang sebenarnya antara pria dan wanita yang telah positif terkena kelainan darah tersebut.

10. Sebuah pabrik aki dengan merk MNO menyatakan bahwa aki yang telah diproduksinya memiliki rataan umur pakai selama 3 tahun dengan ragam 1 tahun. Dari aki yang telah dipilih secara acak tercatat umurnya sebagai berikut: 1,9; 2,4; 3,0; 3,5; dan 4,2 tahun. Jika diasumsikan umur aki menyebar normal, tentukan selang kepercayaan 95% bagi . Benarkah bahwa pernyataan bahwa tahun dapat diterima?
11. Sampel random dari suatu barang sebanyak 100 buah ternyata setelah diteliti ada yang rusak 30 buah. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval yang menunjukkan proporsi barang yang rusak.
12. Seorang pejabat bank akan memperkirakan berapa persen para nasabah yang tidak puas dengan pelayanan yang diberikan oleh para pegawainya. Untuk maksud tersebut, dilakukan penelitian terhadap 250 orang nasabah yang dipilih secara acak. Ternyata ada 60 orang yang tidak puas. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah pendugaan interval persentase para nasabah yang tidak puas.
13. Seorang ahli bola lampu sedang melakukan penelitian terhadap sejenis bola lampu dengan merek yang berbeda. Katakan merek A dan merek B. Dia ingin mengetahui apakah ada selisih atau perbedaan rata-rata lamanya hidup dari kedua bola lampu tersebut. Untuk maksud itu, masing-masing merek diselidiki sebanyak 100 buah yang dipilih secara acak. Ternyata merek A bisa menyala rata-rata selama 3600 jam, sedangkan merek B selama 3500 jam. Diketahui simpangan baku merek A = 200 jam dan merek B = 200 jam. Dengan menggunakan tingkat keyakinan sebesar 90%, hitunglah pendugaan interval selisih rata-rata lamanya hidup dari kedua bola lampu tersebut.
14. Untuk mengetahui apakah ada perbedaan rata-rata gaji bulanan bagi para karyawan dari 2 perusahaan A dan B, maka dilakukan wawancara terhadap 9 orang karyawan yang dipilih secara acak sebagai sampel dari masing-masing perusahaan. Hasil wawancara adalah sebagai berikut.

Buatlah pendugaan interval dari selisih / perbedaan rata-rata gaji tersebut dengan tingkat keyakinan 95%.

15. BKKBN melakukan penelitian di dua daerah (dan ) untuk mengetahui apakah ada perbedaan antara persentase penduduk yang setuju KB di daerah tersebut. Kemudian akan dibuat pendugaan interval mengenai besarnya selisih/perbedaan persentase tersebut. Di daerah  dan  masing-masing dilakukan wawancara terhadap 120 orang, antara lain menanyakan apakah mereka setuju KB atau tidak.

Dari  ada 90 orang dan dari  ada 78 orang yang setuju KB. Buatlah pendugaan interval dari perbedaan persentase tentang pendapat penduduk yang setuju dengan KB, di kedua daerah tersebut, dengan tingkat keyakinan sebesar 90%.

16. Berapa banyak perusahaan nasional harus diselidiki sebagai suatu sampel acak, agar dengan tingkat keyakinan sebesar 98%, kesalahan penarikan sampel di dalam memperkirakan rata-rata modal kurang dari Rp 10 juga dan diketahui simpangan baku Rp 15 ribu.
17. Suatu penelitian dilakukan untuk mengestimasi rata-rata biaya proyek besar (milyaran rupiah), dengan tingkat ketelitian sebesar Rp 2 milyar, sebagai kesalahan penarikan sampel. Berapa besarnya sampel (), kalau tingkat keyakinan besarnya 95%, dan bila 99%?
18. Suatu kegiatan pengawasan mutu barang (quality control) ingin mengestimasi proporsi barang yang rusak. Kalau tingkat ketelitian (kesalahan sampling) harus 0,07 dan tingkat keyakinan 95%, berapa besarnya sampel barang (= n) yang harus diperiksa? Juga kalau tingkat keyakinan 99%?
19. Manajer di sebuah bank di sebuah kota kecil ingin menentukan proporsi deposan yang memiliki lebih dari satu nomor rekening di bank. Random sampel 100 deposan dipilih, dan 30 orang mengatakan memiliki lebih dari satu nomor rekening.
20. Buatlah 90% tingkat keyakinan dari proporsi populasi deposan yang memiliki “nomor rekening” lebih dari satu.
21. Bagaimana hasil dari (a) dapat digunakan untuk strategi pemasaran bagi investasi jenis baru yang mentargetkan deposan yang ada sekarang?
22. Misalkan sebuah sampel berukuran 25 pilih secara acak dari populasi berukuran 500. Diperoleh rata-rata sampel sebesar 25,7 dan standar deviasi 7,8. Buatlah pendugaan interval bagi (rata-rata populasi) dengan tingkat keyakinan 99%.
23. Survei yang dilakukan pada 200 orang, bertujuan untuk mengetahui persepsi masyarakat terhadap transparansi tatakelola dana oleh pemerintah. Dari hasil survei diperoleh rata-rata persepsi 62 dengan standar deviasi 5,6. Dengan tingkat keyakinan sebesar 95%, buatlah estimasi interval rata-rata persepsi?
24. Suatu eksperimen yang mencobakan dua metode pembelajaran, yaitu metode ceramah dan metode diskusi pada dua kelompok (I dan II). Setelah tiga bulan pembelajaran dengan kedua metode tersebut diberikan tes kemampuan pemecahan masalah, hasilnya kelompok I dengan jumlah peserta sebanyak 50 orang memperoleh rata-rata 65,2 dan standar deviasi sebesar 1,84, sedangkan kelompok II jumlah peserta 38 memperoleh rata-rata 76,8 dan standar deviasi sebesar 1,65. Dengan menggunakan tingkat keyakinan 99% lakukan estimasi interval perbedaan rata-rata kemampuan pemecahan masalah kedua kelompok tersebut?
25. Misalkan suatu survei yang mengambil sampel acak 500 prajurit bertujuan untuk mengetahui kompetensi tempur prajurit. Hasil survei menunjukkan bahwa rata-rata kompetensi tempur prajurit 68,9, median 65 dan standar deviasi 2,04. Buatlah estimasi media dan estimasi standar deviasi pada tingkat keyakinan 95%?
26. Untuk mengetahui apakah perbedaan rata-rata dari kinerja karyawan pria dan wanita, dipilih sampel acak 8 pria (X₁) dan 10 wanita (X₂). Data kinerja karyawan pria dan wanita disajikan sebagai berikut:

Buatlah estimasi interval selisih rata-rata kinerja karyawan pada tingkat keyakinan 95%?

25. Misalkan telah diambil sampel acak berukuran 28 orang penduduk, ternyata terdapat 7 orang yang tidak memiliki NPWP. Buat estimasi proporsi penduduk yang tidak memiliki NPWP pada tingkat keyakinan 95%?

Ketika manusia mempunyai motivasi yang tinggi, sangatlah mudah untuk

mencapai sesuatu yang mustahil. Namun ketika mereka tidak termotivasi,

sangat mustahil untuk mencapai sesuatu yang mudah.

Robert F. Kennedy