DISTRIBUSI FREKUENSI

BAB III

DISTRIBUSI FREKUENSI

Anda dapat melakukan apa pun yang Anda pikir dapat Anda lakukan.
Pengetahuan ini benar-benar hadiah dari Tuhan, karena itu Anda dapat
memecahkan semua masalah manusia. Hal ini akan membuat Anda menjadi
orang yang optimis. Hal ini membuka pintu terhadap segala kemungkinan.

Robert Collier

Pembahasan Materi

            Bab ini membahas tentang pengertian distribusi frekeunsi, distribusi frekuensi data kuantitatif,  jenis-jenis distribusi frekuensi: distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.

• Pengertian Distribusi Frekuensi

      Seringkali data yang telah terkumpul tersedia dalam jumlah yang besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri-cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut ke dalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui ciri-cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam kelas yang disebut frekuensi kelas.

Jadi untuk dapat memahami data dengan mudah, maka baik data kualitatif maupun data kuantitatif harus disajikan dalam bentuk yang ringkas dan jelas. Salah satu cara untuk meringkas data adalah distribusi frekuensi, yaitu pengelompokkan data ke dalam beberapa kelompok (kelas) dan kemudian dihitung banyaknya data yang masuk ke dalam tiap kelas. Dengan kata lain, distribusi frekuensi merupakan suatu cara untuk meringkas serta menyusun sekelompok data mentah (raw data) yang diperoleh dari penelitian, dengan didasarkan pada distribusi (penyebaran) nilai variabel dan frekuensi (banyaknya) individu yang terdapat pada nilai variabel tersebut (Nurgiyantoro, 2002).

      Jadi distribusi frekuensi adalah susunan data menurut kelas-kelas interval tertentu atau menurut kategori tertentu dalam sebuah daftar. Distribusi frekuensi digambarkan melalui yang disebut tabel distribusi frekuensi. Dari distribusi frekuensi, dapat diperoleh keterangan atau gambaran sederhana dan sistematis dari data yang diperoleh. Menyajikan sejumlah data dengan tidak menggunakan tabel distribusi selain tidak enak dilihat, tidak komunikatif dan juga tidak informatif.

• Distribusi Frekuensi Data Kuantitatif

      Definisi tentang distribusi frekuensi adalah sama baik untuk data kualitatif maupun kuantitatif. Meskipun demikian, kita harus lebih hati-hati dalam menentukan kelas yang digunakan pada distribusi frekuensi. Ada tiga hal yang perlu diperhatikan dalam menentukan kelas bagi distribusi frekuensi untuk data kuantitatif, yaitu jumlah kelas, lebar kelas, dan batas kelas.

Jumlah kelas

Banyaknya kelas sebaiknya antara 7 dan 15, atau paling banyak 20. (Tidak ada aturan umum menentukan jumlah kelas). H.A. Sturges pada tahun 1926 menulis artikel dengan judul: “The Choice of a Class Interval” dalam Journal of the American Statistical Association, yang mengemukanan suatu rumus untuk menentukan banyaknya kelas sebagai berikut:

Di mana                       banyaknya kelas

                                     banyaknya nilai observasi

Rumus tersebut diberi nama Kriterium Sturges dan merupakan suatu perkiraan tentang banyaknya kelas. Misalnya, data dengan  maka banyaknya kelas  adalah sebagai berikut:

Jadi, banyaknya kelas sebaiknya 7.

Disarankan interval atau lebar kelas adalah sama untuk setiap kelas. Sebenarnya, pemilihan interval kelas dan jumlah atau banyaknya kelas tidak independen. Semakin banyak jumlah kelas berarti semakin kecil interval kelas dan sebaliknya.

Pada umumnya, untuk menentukan besarnya kelas (panjang interval) digunakan rumus:

Di mana         perkiraan besarnya.

                     banyaknya kelas

                   nilai observasi terbesar

                    nilai observasi terkecil

Batas Kelas

Batas kelas bawah menunjukkan kemungkinan nilai data terkecil pada suatu kelas. Sedangkan batas kelas atas mengidentifikasi kemungkinan nilai data terbesar dalam suatu kelas. Jika diketahui kelas-kelas interval adalah 30 – 39, 40 – 49, 50 – 59, dan seterusnya, maka untuk nilai batas bawahnya (lower limit) adalah 30, 40, 50, dan seterusnya. Sedangkan nilai batas atasnya (upper limit) adalah 39, 49, 59, dan seterusnya. Untuk lebih jelasnya lihat contoh 1.

               Perlu diperhatikan bahwa kelas interval 30 – 39, 40 – 49, dan seterusnya secara teoritis mencakup seluruh nilai interval 29, 5 – 39,5; 39,5 – 49,5, dan seterusnya. Nilai-nilai 29,5; 49,5 dan seterusnya disebut batas kelas atas yang sebenarnya (upper class boundary). Jarak batas kelas atas dan bats kelas bawah disebut juga dengan lebar atau  panjang kelas.

Contoh Soal.

Suatu penelitian dilakukan oleh pejabat dari Badan Koordinasi Penanaman Modal (BKPM) terhadap 100 perusahaan. Salah satu karakteristik yang ditanyakan ialah besarnya modal yang dimiliki perusahaan-perusahaan tersebut. Kalau X adalah modal dalam jutaan rupiah, maka nilai X adalah sebagai berikut:

Dari data tersebut buatlah tabel distribusi frekuensinya?

Penyelesaian:

      Data di atas merupakan data mentah (raw data) yang belum dapat menjawab pertanyaan mengenai misalnya, berapa banyak perusahaan yang memiliki modal antara Rp30 – Rp39 juta dan berapa yang memiliki modal antara Rp 90 – Rp 99 juta. Kemudian berapa persen perusahaan yang modalnya Rp 90 – Rp 99 juta; kurang dari Rp 79 juta, berapa rata-rata modal, dan lain sebagainya. Untuk menjawab pertanyaan pertama harus dibuat tabel frekuensi; untuk pertanyaan kedua harus dibuat frekuensi relatif; untuk pertanyaan ketiga harus dibuat frekuensi kumulatif; sedangkan untuk pertanyaan terakhir mengenai besarnya rata-rata modal perusahaan harus dilakukan perhitungan guna meringkaskan data mentah tersebut (pengolahan data). Contoh tabel frekuensi adalah sebagai berikut:

Dari tabel frekuensi data di atas, dapat diketahui bahwa ada dua perusahaan yang mempunyai modal antara Rp30 – Rp39 juta, tiga perusahaan yang mempunyai modal antara Rp40 – Rp49 juta, dan seterusnya.

      Walaupun tabel frekuensi memberikan cara penyajian yang sederhana, namun kita kehilangan keterangan yang terinci mengenai setiap kelompok (kelas, kategori) nilai. Misalnya, ada tujuh nilai yang terletak antara 90 – 99 yang besarnya kita tidak tahu, tetapi nilai-nilai itu dapat diwakili oleh suatu nilai tengah atau mean (=M), yang terletak di tengah-tengah antara 90 dan 99, yaitu  Uraian yang sama juga berlaku untuk kelas-kelas lainnya.

• Jenis-Jenis Distribusi Frekuensi

Berdasarkan kriteria-kriteria tertentu, distribusi frekuensi dapat dibedakan atas tiga jenis, yaitu distribusi frekuensi biasa, distribusi frekuensi relatif, dan distribusi frekuensi kumulatif.

• Distribusi Frekuensi Biasa

Distribusi frekuensi biasa adalah distribusi frekuensi yang hanya berisikan jumlah frekuensi dari setiap kelompok data atau kelas. Ada dua jenis distribusi frekuensi biasa, yaitu distribusi frekuensi numerik dan distribusi frekuensi peristiwa atau kategori. Distribusi frekuensi numerik adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan dalam angka. Contohnya adalah dalam tabel berikut:

Tabel 3.1. Pelamar Perusahaan “XYZ”, 1990

Distribusi frekuensi peristiwa atau kategori adalah distribusi frekuensi yang pembagian kelasnya dinyatakan berdasarkan data atau golongan data yang ada. Contohnya adalah dalam tabel berikut:

Tabel 3.2. Hasil Pelemparan Dadu Sebanyak 30 Kali

• Distribusi Frekuensi Relatif

Sering seseorang membutuhkan tidak hanya distribusi frekuensi saja akan tetapi juga distribusi relatif atau persentase bagi masing-masing selang untuk memudahkan analisis datanya. Frekuensi relatif masing-masing kelas diperoleh dengan membagi frekuensi kelas dengan frekuensi totalnya.

Distribusi frekuensi relatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan nilai-nilai hasil bagi antara frekuensi kelas dan jumlah pengamatan yang terkandung dalam kumpulan data yang berdistribusi tertentu. Pada distribusi frekuensi relatif ini, frekuensi relatifnya dirumuskan:

Frekuensi relatif kadang-kadang dinyatakan dalam bentuk perbandingan desimal, ataupun persen. Tabel 3.3 yang memuat frekuensi relatif ini disebut distribusi frekuensi relatif. Dan bila setiap frekuensi relative dikalikan dengan 100 persen akan diperoleh distribusi persentase.

Tabel 3.3. Distribusi Frekuensi Relatif

• Distribusi Frekuensi Kumulatif

Dalam banyak hal, kita sering tertarik tidak saja pada banyaknya pengamatan dalam kelas tertentu, tetapi juga pada banyaknya pengamatan yang berada di bawah atau di atas sebuah nilai tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi yang berisikan frekuensi kumulatif. Frekuensi kumulatif adalah frekuensi yang dijumlahkan. Ada dua macam distribusi frekuensi kumulatif, yaitu distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai kurang dari nilai batas kelas suatu interval tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif lebih dari adalah distribusi frekuensi yang memuat jumlah frekuensi yang memiliki nilai lebih dari nilai batas kelas suatu interval tertentu. Distribusi frekuensi kumulatif memiliki grafik atau kurva yang disebut ogif. Pada ogif dicantumkan frekuensi kumulatif dan digunakan nilai batas kelas.

Ogif merupakan grafik dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari atau distribusi kumulatif kurang dari. Ogif disebut juga poligon frekuensi kumulatif. Untuk menggambarkan ogif diperlukan tabel distribusi frekuensi kumulatif. Prinsip yang digunakan untuk menggambarkan ogif hampir sama dengan prinsip untuk dapat  menggambarkan histogram dan poligon frekuensi. Sumbu datar dari ogif adalah menyatakan batas kelas dan sumbu tegak menyatakan frekuensi kumulatif. Perhatikan contoh berikut:

Tabel 3.4. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari dan Ogif Kurang Dari/Ogif Positif

Gambar 3.1. Kurva Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Tabel 3.5. Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari dan Ogif Lebih Dari/Ogif Negatif

Gambar 3.2. Kurva Distribusi Frekuensi Kumulatif Lebih Dari dan Ogif Lebih Dari/Ogif Negatif

Contoh soal:

1. Berikut ini adalah data 50 mahasiswa dalam perolehan nilai statistik pada Sekolah Tinggi Manajemen Informatika dan Komputer “Raharja” semester II tahun 2009.

1. Berapa mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 dan 80 – 88?
2. Berapa % mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 dan 89 – 97?
3. Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 44?

Berapa banyak mahasiswa yang nilainya kurang dari 71?

Jawab:

Untuk menjawab pertanyaan a diperlukan distribusi frekuensi, untuk menjawab pertanyaan b diperlukan distribusi frekuensi relatif dan untuk menjawab c diperlukan distribusi frekuensi kumulatif.

1. Tabel distribusi frekuensi untuk data tersebut adalah sebagai berikut.

Tabel 3.6. Nilai Statistik 50 Mahasiswa Semester II.

Banyaknya mahasiswa yang mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2 orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.

3. Tabel 3.7. Distribusi Frekuensi Relatif Nilai Statistik 50 Mahasiswa Semester II Tahun 2017.

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara 53 – 61 adalah 6% dan yang mendapat nilai antara 89 – 97 adalah 18%.

3. Tabel 3.8. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari

Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang dan kurang dari 71 adalah 15 orang.

2. Berikut ini adalah mid point dari pengukuran 40 diameter pipa-pipa beserta frekuensinya.

1. Susunlah mid point tersebut ke dalam distribusi frekuensi biasa dan gambarkan histogram dan poligonnya!
2. Buatlah distribusi frekuensi relatif!
3. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

Jawab:

•  
• BAK_i = BBK_i + (C – 1)
•  

Dimana:       C          = panjang interval kelas

                    BAK_i     = batas atas kelas ke-i

                   BBK_i      = batas bawah kelas ke-i

                                  = 1, 2, 3, . . .

C                = 69 – 66 = 3

BAK₁            = BBK₁ + (3 – 1)

BAK₁            = BBK₁ + 2                           

Persamaan (2) disubtitusi pada Persamaan (1), didapat

BAK₁            = 132 – BAK₁ + 2

2BAK₁         = 132 + 2

BBK₁            = 132 – BAK₁

                         = 132 – 67 = 65

Dengan cara yang sama (silahkan coba sendiri) diperoleh batas atas dan batas bawah masing-masing kelas, yaitu:

• BAK₂ = 70 dan BBK₂ = 68
• BAK₃ = 73 dan BBK₃ = 71
• BAK₄ = 76 dan BBK₄ = 74
• BAK₅ = 79 dan BBK₅ = 77
• BAK₆ = 82 dan BBK₆ = 80

1. Distribusi frekuensi biasanya adalah :

Tabel 3.9. Pengukuran Diameter 40 Pipa Paralon

Histogram dan poligon frekuensinya:

Gambar 3.3. Histogram dan Polygon Frekuensi Pengukuran Diameter 40 Pipa Paralon

1. Perhitungan frekuensi relatif

Tabel 3.10. Distribusi Frekuensi Relatif

1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi kumulatif lebih dari adalah sebagai berikut.

Tabel 3.11. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Dan Lebih Dari

Keterangan:

<   =    kurang dari         >   =  lebih dari

3. Berikut ini frekuensi relatif dari 65 orang karyawan perusahaan.

1. Susunlah ke dalam distribusi frekuensi asalnya (distribusi frekuensi biasa) dan gambarkan histogram dan poligonnya!
2. Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari!

Jawab:

1. Untuk membuat distribusi frekuensi asal, digunakan langkah sebagai berikut.

atau:

Tabel 3.12. Umur Karyawan Perusahaan

Histogram dan poligon frekuensinya ialah sebagai berikut.

Gambar 3.4. Histogram dan Poligon Frekuensi Umur Karyawan Perusahaan.

1. Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan distribusi frekuensi lebih dari adalah sebagai berikut.

Tabel 3.13. Distribusi Frekuensi Kumulatif Kurang Dari Dan Lebih Dari

Keterangan:     < = kurang dari       > = lebih dari

4. Distribusi frekuensi kumulatif dari upah harian (ratusan rupiah) 60 karyawan PT Unilever.

1. Sajikan data tersebut ke dalam distribusi frekuensi biasa dan gambarkan histogram dan poligonnya!
2. Buatkan distribusi frekuensi relatifnya!

Jawab:

            Tabel 3.14. Upah Harian Karyawan PT Unilever

Histogram dan poligon frekuensi

Gambar 3.5. Histogram dan polygon frekueni upah harian karyawan PT Unilever

1. Frekuensi relatif

Tabel 3.15. Distribusi Frekuensi Relatif

Rangkuman

            Data yang dikumpulkan perlu disusun atau disajikan dalam bentuk tertentu. Bentuk-bentuk penyajian data meliputi: (1) tabel yang terdiri atas tabel biasa, tabel distribusi frekuensi, tabel distribusi frekuensi relatif, tabel distribusi frekuensi kumulatif, dan distribusi frekuensi relatif kumulatif, (2) histrogram, (3) poligon frekuensi, dan (3) ogif.

Tabel biasa sangat cocok untuk menyajikan data yang terdiri atas beberapa variabel dengan beberapa kategori. Tabel distribusi frekuensi sangat cocok untuk menyajikan data dalam beberapa kelompok. Tabel distribusi frekuensi relatif, nilai frekuensi dinyatakan dalam persen (%) yang disingkat f (%) atau f (rel). Tabel distribusi frekuensi kumulatif adalah distribusi frekuensi biasa yang nilai frekuensi kumulatifnya diperoleh dengan jalan menjumlahkan frekuensi demi frekuensi. Tabel distribusi frekuensi kumulatif ada dua macam yaitu: kumulatif kurang dari dan kumulatif lebih dari. Daftar distribusi frekuensi kumulatif relatif adalah apabila nilai f kumulatif dalam frekuensi kumulatif diubah dalam persen.

            Histogram adalah penyajian data distribusi frekuensi yang diubah menjadi diagram batang. Ogif adalah distribusi frekuensi kumulatif yang diagramnya dalam sumbu tegak dan mendatar. Ogif kurang dari adalah diagram dari distribusi frekuensi kumulatif kurang dari. Dan ogif lebih dari adalah diagram dari distribusi frekuensi kumulatif lebih dari. 

Evaluasi Mandiri

1. Apakah yang dimaksud dengan distribusi frekuensi? Bagaimana hubungan antara distribusi frekuensi dan data berkelompok?
2. Apakah yang dimaksud dengan histogram dan poligon frekuensi? Bagaimana hubungan antara keduanya?
3. Apakah yang dimaksud dengan interval kelas, limit kelas, batas kelas, serta titik tengah kelas, frekuensi kumulatif, dan ogif? Jelaskan masing-masing dengan singkat!
4. Ada berapa macamkah distribusi frekuensi yang Anda ketahui? Jelaskan pengertian distribusi frekuensi yang dimaksud!
5. Berikut ini adalah data dari pengukuran.
6. Panjang 100 lembar daun belimbing (diukur dalam satuan mm)

1. Persentase penghasilan 100 keluarga di suatu kota yang mereka belanjakan untuk bahan makanan.

1. Susunlah data-data tersebut dalam daftar yang menurut pendapat Anda paling baik sebelum membuat distribusi frekuensi!
2. Buatlah distribusi frekuensinya!
3. Buatlah histogram dan polygon frekuensinya!
4. X = upah karyawan (ribuan rupiah) per bulan sebuah PT, ialah sebagai berikut.

1. Gambarlah histogram dan poligonnya!
2. Buatkan distribusi frekuensi relatifnya!
3. Berapa orang yang upahnya di atas Rp400.000,00? Dan berapa % orang yang upahnya Rp200.000,00 atau kurang?
4. Mid point gaji buruh PT LABA-LABA tahun 2017 beserta frekuensinya adalah sebagai berikut.

Susunlah mid point ke dalam distribusi frekuensi asalnya dan gambarkan histogram dan poligonnya!

8. Distribusi frekuensi relatif keuntungan usaha dari 80 orang pedagang kaki lima tahun 2017 di suatu kota, ialah sebagai berikut.

1. Susunlah ke dalam distribusi frekuensi asalnya dan gambarkan histogram dan poligonnya!
2. Susunlah distribusi frekuensi kumulatif beserta ogifnya!
3. Distribusi frekuensi kumulatif dari hasil ujian Statistik 1 mahasiswa Universitas “B”, Fakultas Ekonomi tahun 2017 ialah sebagai berikut.

1. Susunlah ke dalam distribusi frekuensi asalnya dan gambarkan histogram dan poligonnya!
2. Susunlah distribusi frekuensi relatifnya!
3. Data hasil ujian mata kuliah statistika dari 60 mahasiswa di Tangerang adalah sebagai berikut:

23        60        79        32        57        74        52        70        82        36

80        77        81        95        41        65        92        85        55        76

52        10        64        75        78        25        80        98        81        67

41        71        83        54        64        72        88        62        74        43

60        78        89        76        84        48        84        90        15        79

34        67        17        82        69        74        63        80        85        61

1. Buatlah tabel distribusi frekuensi yang berisi kelas interval, batas kelas, nilai tengah, frekuensi, dan frekuensi relative dalam persen!.
2. Buatlah tabel distribusi frekuensi kumulatif lebih dari dan kurang dari!
3. Buatlah histrogram, polygon frekuensi, ogif, dan kurva ogif!

Pikiran mengarahkan kepada tujuan, tujuan menjadi tindakan, tindakan membentuk kebiasaan, kebiasaan membangun karakter, dan karakter menentukan nasib kita.

Tyron Edwards