UKURAN PEMUSATAN DATA

BAB IV

UKURAN PEMUSATAN DATA

Individu yang ingin mencapai puncak prestasi apapun harus menghargai kekuatan dari kebiasaan dan harus mengerti bahwa praktik adalah sesuatu yang menciptakan kebiasaan.
Ia harus secepatnya membuang kebiasaan yang dapat merusaknya dan segera menyerap praktik-praktik yang akan menjadi  kebiasaan yang membantunya dalam mencapai kesuksesan yang diinginkan. 

Paul Getty

Pembahasan Materi

            Bab ini membahas tentang konsep ukuran pemusatan, rata-rata hitung (mean), median, dan modus. Hubungan mean, median dan modus, nilai kuartil, desil dan persentil.

• Pendahuluan

Meskipun data telah disusun ke dalam distribusi frekuensi, ternyata data yang disajikan itu belum dapat memberikan gambaran tentang variabel-variabel penelitian secara ringkas. Dalam banyak hal, pengumpulan data maupun penyusunan data ke dalam distribusi frekuensi tidak semata-mata dibutuhkan bagi tujuan yang sedemikian sederhana yaitu memperoleh gambaran tentang jumlah data. Analisa mengenai perbandingan antara 2 kelompok hasil observasi, persoalan indeks, deret berkala, regresi dan sebagainya membutuhkan data untuk analisa yang bersifat lebih kompleks. Dalam hal demikian itu, pengumpulan data atau penyusunan data ke dalam distribusi frekuensi hanya merupakan tahap permulaan bagi analisa kuantitatif yang lebih lanjut. 

Penyajian data ke dalam bentuk grafik juga bertujuan memberi gambaran yang jelas tentang suatu peristiwa kuantitatif secara visual.  Gambaran ringkas tentang variabel penelitian ini menjadi penting karena memungkinkan peneliti dengan mudah dan cepat dapat membaca dan menggambarkan keadaan suatu variabel penelitiah secara menyeluruh. Gambaran ringkas suatu variabel ini seringkali digunakan untuk membandingkan variabel satu dengan variabel lain. Gambaran ringkas tentang suatu variabel di peroleh dengan jalan menghitung ukuran kecenderungan memusat atau ukuran tendensi sentral (central tendency) atau sering disebut ukuran pemusatan data (Murdan, 2003).

• Definisi Ukuran Pemusatan

Dalam beberapa hal, ahli statistik menganggap rata-rata (average) dapat merupakan nilai yang cukup representatif bagi penggambaran nilai-nilai yang terdapat dalam data yang bersangkutan. Rata-rata sedemikian itu dapat dianggap sebagai nilai sentral dan dapat digunakan sebagai pengukuran lokasi sebuah distribusi frekuensi. Namun demikian, apakah rata-rata tersebut cukup representatif bagi penggambaran nilai-nilai keseluruhan data itu sendiri sangat bergantung pada cara nilai-nilai itu sendiri bervariasi. Penilaian terhadap rata-rata berhubungan erat dengan variasi atau dispersi datanya dari mana rata-rata tersebut dihitung. Pada hakekatnya, pengertian tentang rata-rata itu sendiri cukup membingungkan bagi sebagian besar orang yang belum pernah mempelajari statistik. Bagi mereka, metode menghitung rata-rata hanya satu macam saja. Padahal, para ahli statistik mengenal berbagai macam rata-rata dengan nama yang khas pula (Dermawan, 2003). 

Ukuran kecenderungan memusat merupakan suatu bilangan yang menunjukkan tendensi (kecenderungan) memusatnya bilangan-bilangan dalam suatu distribusi. Ukuran kecenderungan memusat juga dapat digunakan untuk merangkum data dan mendeskripsikan suatu kelompok variabel dengan cara mencari suatu angka (indeks) yang dapat mewakili seluruh kelompok tersebut. Rata-rata (average) adalah nilai yang mewakili himpunan atau sekelompok data (a set of data). Nilai rata-rata umumnya cenderung terletak ditengah suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai. Dengan perkataan lain, ia mempunyai kecenderungan memusat, sehingga sering disebut ukuran kecenderungan memusat (measures of central tendency).

Beberapa jenis rata-rata yang sering digunakan adalah rata-rata hitung (arithmetic mean atau sering disingkat mean saja), rata-rata ukur (geometric mean), dan rata-rata harmonis (harmonic mean). Setiap rata-rata tersebut selain mempunyai keunggulan juga memiliki kelemahan, dan ketepatan penggunaannya sangat bergantung pada sifat dari data dan tujuannya (misalnya untuk melakukan analisis).

Dalam buku ini, yang dimaksudkan dengan rata-rata adalah rata-rata hitung, kecuali kalau ada keterangan atau penjelasan lain. Dalam kehidupan sehari-hari, rata-rata ini lebih banyak dikenal. Misalnya rata-rata gaji atau upah karyawan Perguruan Tinggi Raharja per bulan, rata-rata produksi beras per tahun, rata-rata harga beras per kilogram, rata-rata umur karyawan suatu departemen, rata-rata hasil penjualan televisi per minggu, rata-rata modal perusahaan nasional, rata-rata hasil ujian seorang mahasiswa, rata-rata permintaan kredit per nasabah dan lain sebagainya (Furqon, 2002).

Rata-rata hitung sering digunakan sebagai dasar perbandingan antara dua kelompok nilai atau lebih. Misalnya ada dua mahasiswa, yaitu Ageng dan Fadly dari Jurusan Sistem Komputer Universitas A, yang menempuh ujian lima macam mata kuliah, yaitu: Matematika Diskrit, Kalkulus, Fisika, Statistik Deskriptif, dan Aljabar Linear. Untuk menentukan mana yang lebih pandai antara Ageng atau Fadly, dapat dipergunakan nilai rata-rata.

• Rata-Rata Hitung atau Nilai Tengah (Mean)

Rata-rata hitung atau nilai tengah, dengan lambang µ untuk populasi dan  untuk sampel, merupakan salah satu ukuran pemusatan. Karena sifat-sifatnya yang mudah untuk dipelajari, nilai tengah ini memegang peranan penting dalam statistik inferensial. Nilai tengah yang akan kita pelajari dapat dibedakan menjadi dua bagian, yaitu nilai tengah untuk data tunggal dan nilai tengah untuk data yang telah dikelompokkan dalam tabel distribusi frekuensi. Bila data sampel terdiri dari sejumlah nilai-nilai hasil pengamatan yang tidak terlalu besar, rata-rata hitungnya (arithmetic mean) dapat langsung dicari dari data yang besangkutan tanpa harus terlebih dahulu menyusunnya ke dalam distribusi frekuensi.

Mean  atau disebut juga dengan rata-rata adalah angka yang diperoleh dengan membagi jumlah nilai-nilai (X) dengan jumlah individu (N). Misalnya untuk membandingkan tingkat gaji atau upah per bulan karyawan perusahaan Unilever  dan perusahaan Argopantes, mana yang lebih tinggi, maka dapat dilakukan wawancara terhadap 10 karyawan perusahaan Unilever dan 10 karyawan perusahaan Argopantes. Kalau kita mempunyai nilai variabel X, sebagai hasil pengamatan atau observasi sebanyak N kali, yaitu  ………., maka untuk menghitung rata-rata dapat digunakan  rumus sebagai berikut:

Dimana,                                            = mean

                                            = jumlah nilai dalam distribusi

                                              = Number atau jumlah individu

Misalkan kita mendapatkan nilai sebagai berikut: 60, 50, 40, 30, 20, 10. Cara mencari mean dari data tersebut adalah dengan membuat sebuah tabel, seperti yang tampak pada tabel 4.1.

Tabel 4.1. Sebaran Nilai Statistik 6 Orang Mahasiswa

Maka berdasarkan tabel tersebut didapatkan mean sebesar,

Rumus tersebut di atas hanya cocok untuk mencari mean dari data kasar atau suatu array, yang masing-masing skornya memiliki frekuensi 1. Jika frekuensi skor atau nilai di dalam suatu distribusi tidak sejenis atau heterogen, maka digunakan rumus baru, sebagai berikut.

Dimana  adalah jumlah nilai-nilai yang sudah dikalikan dengan frekuensi masing-masing.  Contoh dapat dilihat pada tabel 4.2.

Tabel 4.2. Nilai Statistik Mahasiswa dalam Distribusi Frekuensi

Berdasarkan data yang terdapat dalam tabel 10 tersebut akan didapatkan mean sebesar 30 dengan perhitungan sebagai berikut:

Contoh-contoh di atas hanya cocok untuk menghitung mean dari distribusi frekuensi tunggal.

      Apabila kita ingin menghitung mean dari distribusi kelompok pada hakekatnya tidak berbeda dengan menghitung mean dari distribusi frekuensi tunggal. Hanya saja nilai X tidak lagi mewakili nilai variabel individu, melainkan mewakili titik tengah interval. Setelah data kita susun dalam bentuk tabel frekuensi, maka kita dapat menentukan dan mencari ukuran pemusatan atau ukuran kecenderungan terpusat dari data tersebut. Ukuran pemusatan itu sendiri merupakan salah satu ukuran lokasi data, baik yang merupakan suatu populasi atau sampel (Ngurah Agung, 2004).

Yang dimaksud data berkelompok di sini adalah data yang telah disederhanakan dalam bentuk tabel frekuensi. Berikut ini disajikan contoh bagaimana cara menghitung mean dari distribusi kolompok, yang disusun dalam tabel 4.3 berikut:

Tabel 4.3. Pengelompokkan Data pada Tabel Distribusi Frekuensi

Maka akan diperoleh mean sebesar:

Bila kita menggunakan tabel distribusi frekuensi kelompok seperti yang sudah kita bahas di dalam bab distribusi frekuensi maka mean dapat dihitung dengan menggunakan tabel 4.4 sebagai berikut.

Tabel 4.4. Tabel Penolong untuk Menghitung Mean Data Berkelompok

Maka akan diperoleh mean sebesar:

Dua contoh perhitungan mean tersebut di atas adalah menggunakan rumus angka kasar. Apabila kita menghendaki penghitungan mean dengan cara lain dapat menggunakan rumus angka terkaan, dengan menggunakan rumus:

Keterangan :      Mean

                         Mean terkaan

                         Jumlah deviasi (penyimpangan) kesalahan akibat tekanan

                          N     = jumlah individu

                           i      = lebar interval

Langkah-langkah untuk menghitung mean dengan menggunakan rumus angka terkaan:

1. Menerka letak mean (boleh di sembarang interval) dan menjadikan titik tengahnya sebagai mean terkaan (MT). Misalnya pada tabel 3.5 kita meletakkan terkaan pada interval 19 – 25 maka MT = 22. Secara teoritis meletakkan MT dimana saja akan menghasilkan harga mean yang sama.
2. Memberi status deviasi (x’) pada setiap interval, dengan ketentuan letak interval MT akan diberi harga 0, sedangkan interval diatas MT diberi tanda+ (plus) dengan angka diurutkan mulai +1 sampai interval paling atas dari interval dibawah MT diberi tanda – (minus) dengan angka diurutkan dari -1 sampai interval terakhir.
3. Mengalikan f dengan x’ dan mencari jumlah totalnya.
4. Menghitung lebar interval (i) dan N.

Tabel 4.5. Sebaran Nilai yang Dikelompokkan dalam Tabel Distribusi Frekuensi

Diketahui,                              MT     = 22

                                     -30

                                    i           = 7

                                    N         = 60

Maka harga mean yang didapatkan sebesar:

Misalkan kita akan memindahkan MT pada interval yang lain, apakah harga mean yang diperoleh akan sama.

Tabel 4.6. Untuk Mencari Mean Dengan Rumus Angka Terkaan

Diketahui,                              MT     = 15

                                     30

                                    i           = 7

                                    N         = 60

Maka harga mean yang didapatkan sebesar:

Meskipun letak terkaannya dipindahkan, akan tetapi harga mean yang dihasilkan tetap sama. Cara dengan rumus angka terkaan ini dirasa lebih efisien dan efektif karena peneliti terhindar dari jumlah-jumlah angka yang besar, sehingga perhitungannya bisa dilakukan lebih cepat dan mudah bila dibandingkan dengan rumus angka kasar. Lebih-lebih kalau tidak tersedia mesin hitung.

• Median (Mdn)

Median atau disebut juga rata-rata letak. Perhitungan median dapat dijelaskan, bahwa apabila ada sejumlah atau sekelompok data dan kemudian diurutkan mulai dari yang terkecil sampai yang terbesar, lalu dibagi menjadi dua kelompok; separuh termasuk kelompok tinggi dan separuhnya lagi termasuk kelompok rendah. Maka titik tengah yang memisahkan kedua kelompok tersebut diberi nama median. Dengan kata lain, median adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah-tengah data hasil observasi yang telah diurutkan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Untuk menentukan nilai median suatu data maka data pengamatan bergantung pada n, apakah n tersebut ganjil atau genap (Iqbal Hasan, 2005). 

Untuk sebaran data yang terbatas jumlahnya, median dapat ditemukan dengan memeriksa urutan dan jumlah nilai atau sebagai berikut: 70, 60, 50, 40, 30, 20, 10. Median dari data tersebut adalah 40 karena angka tersebut merupakan titik tengah yang dapat membagi secara sama nilai-nilai yang terletak dikelompok atas maupun kelompok bawah. Lebih terperinci lihat tabel 4.7 berikut ini.

Tabel 4.7. Tabel untuk Mencari Median

Contoh di atas adalah untuk menghitung median dari distribusi frekunesi tunggal. Untuk menghitung median dari distribusi frekuensi kelompok digunakan rumus sebagai berikut:

Dimana:

                                      Median

                                      Batas bawah nyata dari interval yang

                                                   mengandung median

  frekuensi kumulatif di bawah interval

               Yang mengandung median

 frekuensi interval yang mengandung

             Median

i        =  lebar interval

N       = jumlah (frekuensi) individu dalam distribusi

Tabel 4.8.Tabel untuk Mencari Median pada Distribusi Frekuensi Kelompok

Langkah-langkah yang diperlukan untuk menghitung median adalah:

1. Menemukan besar ½ N, yaitu ½ x 23 = 11,5.
2. Menemukan letak 11,5 pada fk, dalam hal ini pada fk = 12 yang terletak pada interval 13 – 17.
3. Menemukan batas bawah nyata interval 13 – 17, yaitu 12,5.
4. Menemukan yaitu fk yang berada dibawah interval 13 – 17, yaitu 9.
5. Menemukan frekuensi pada interval 13 – 17, yaitu 3.
6. Menemukan lebar interval (i) = 7.

Maka, bila dimasukkan dalam rumus akan diperoleh harga median sebesar:

Median 16,67 merupakan nilai variabel yang terdapat dalam interval kelas 13 – 17, dan menjadi batas antara 50% frekuensi distribusi kelompok atas dengan 50% frekuensi distribusi kelompok bawah yaitu 11,5 orang mendapat nilai atas 16,67 dan separuhnya lagi yaitu 11,5 orang dapat nilai di bawah 16,67. Misalkan kita akan menghitung median dari tabel yang sudah disajikan terdahulu.

Tabel 4.9.Tabel untuk Mencari Median pada Distribusi Frekuensi Kelompok

Diketahui,                   ½ N                 = ½ . 60   = 30

                                                        = 20

                                                      = 11

                                                     = 11,5

                                    i                        = 7      

        maka nilai median adalah sebagai berikut:

• Modus

      Untuk menyatakan gejala yang paling sering terjadi atau paling banyak muncul digunakan ukuran pemusatan data yang disebut modus. Tanpa disadari dalam percakapan sehari-hari sesungguhnya modus banyak digunakan untuk menentukan rata-rata dari data yang bersifat kualitatif. Ungkapan seperti Dian jarang masuk pada semester yang lalu merupakan ukuran modus. Begitu juga ungkapan, penyebab orang sakit paru-paru adalah karena merokok, merupakan ukuran pemusatan data dengan modus. Pada kasus pertama, jarang masuk merupakan modus, dan pada kasus kedua, karena merokok merupakan modus dari ungkapan tersebut (Kuncoro, 2005).

Untuk data kuantitatif, modus adalah nilai data yang paling banyak muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus, tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus. Artinya modus suatu kelompok data tidak selalu ada. Bila suatu kelompok data mempunyai modus, maka modusnya bisa lebih dari satu, atau dikatakan modusnya tidak tunggal. Berbeda dengan cara menentukan median, untuk menentukan modus suatu kelompok data, data tersebut tidak perlu diurutkan, tetapi bila data telah diurutkan akan sangat mempermudah menentukan modusnya.

• Kelompok data: 3,4,4,5,6,8,8,8,9 mempunyai satu modus, yaitu 8.
• Kelompok data: 3,4,4,6,8,8,9,10 mempunyai dua modus, yaitu 4 dan 8

Bila data telah dikelompokkan menjadi tabel distribusi frekuensi, maka modusnya dapat dihitung dengan rumus berikut:

Mod  =  L₀ + c

Dimana:          Mod  = modus

           L₀      = batas bawah kelas modus

           C       = lebar kelas

            b₁     = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat 

                          satu kelas sebelum kelas modus.

            b₂     = selisih antara frekuensi kelas modus dengan frekuensi tepat

                          satu kelas sesudah kelas madus.

Tabel 4.10. Untuk Menghitung Modus pada Distribusi Frekuensi Kelompok.

Menentukan dulu kelas interval yang mengandung modus, yaitu kelas interval yang mempunyai frekuensi terbesar. Pada tabel distribusi frekuensi tersebut, kelas interval 139 – 147 mempunyai frekuensi f = 12, dan merupakan frekuensi terbesar. Sehingga modusnya terletak pada kelas 139 – 147. Dengan demikian L₀ = 138,5, c = 9, b₁ = 12 – 8 = 4, dan b₂ = 12 – 5 = 7. Jadi modusnya adalah:

Mod  =  L₀ + c

                                                                =  138,5 + 9  

                                                                =  138,5  + 3,27  =  141,77

• Hubungan Antara Mean, Median, dan Modus

Modus merupakan kalkulasi yang paling sederhana dan fleksibel, karena dapat digunakan pada seluruh skala pengukuran. Perhitungan mean akan lebih baik jika disertai dengan perhitungan modusnya. Perbedaan nilai mean dan modus akan menggambarkan kondisi penyebaran data yang dihadapi. Median mempunyai kelebihan daripada mean jika data yang dianalisis terdapat beberapa skor yang ekstrem. Dengan kata lain terdapat perbedaan yang mencolok antara data yang terendah dan tertinggi. Di samping itu, jika data yang dihadapi tidak menentukan suatu nilai, misalnya rata-rata bayi yang dilahirkan dalam kurun waktu tertentu. Dala kasus ini berkemungkinan diperoleh hasil yang bilangannya pecahan. Kondisi ini tidak sesuai dengan kenyataan karena tidak mungkin anak yang dimiliki berupa angka pecahan.

      Hubungan empiris antara nilai rata-rata hitung, median, dan modus ditentukan oleh kesimetrisan kurva distribusi data yang bersangkutan. Ada tiga kemungkinan bentuk kesimetrisan kurva:

• Pertama, jika nilai rata-rata hitung, median, dan modus berdekatan (hampir sama) satu sama lain, maka kurva dari data tersebut akan mendekati simetri.
• Kedua, jika nilai modus lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari rata-rata hitung, maka kurva dari distribusi data akan miring atau menceng ke kanan.
• Ketiga, jika sebaliknya, nilai rata-rata hitung lebih kecil dari median, dan median lebih kecil dari modus, maka distribusi data akan miring atau menceng ke kiri.

            Pada kasus kedua, nilai modus paling kecil dan nilai rata-rata hitung paling besar, sedangkan pada kasus ketiga, sebaliknya, yaitu nilai rata-rata hitung paling kecil dan modus paling besar. Dalam hal distribusi data tidak simetri; miring ke kanan atau ke kiri, maka terdapat hubungan empiris antara rata-rata hitung dengan median dan modus, yaitu: rata-rata hitung – modus = 3 (rata-rata hitung – median). Meskipun rata-rata hitung, median, modus, sama-sama merupakan ukuran pemusatan data, tetapi ternyata masing-masing dari mereka mempunyai kelebihan dan kekurangan yang disajikan pada tabel berikut:

Tabel 4.11. Kelebihan dan Kekurangan Mean, Median, dan Modus.

Karena pertimbangan kelebihan dan kekurangan itulah, dari tiga ukuran pemusatan data tersebut, rata-rata hitung dikatakan merupakan ukuran pemusatan data yang paling baik, dibandingkan dengan median dan modus. Oleh karena itu, dalam praktek analisis data, rata-rata hitung paling banyak digunakan dan paling populer daripada median dan modus.

• Nilai Kuartil, Desil dan Persentil

            Dengan menggunakan dasar-dasar median, kita dapat meneruskan kepada perhitungan-perhitungan statistik yang dimaksudkan untuk membuat suatu ukuran atau norma yang digunakan sebagai pedoman untuk membuat kategori-kategori kualitas sekelompok individu. Berdasarkan suatu norma tertentu, seorang peneliti dapat memisahkan individu menjadi bermacam-macam kategori sesuai dengan keperluannya. Misalnya dengan membagi distribusi menjadi 2 kategori yaitu individu yang diterima dan ditolak dalam seleksi suatu pekerjaan. Dengan 4 kategori didapatkan kategori-kategori seperti baik sekali, baik, sedang dan tidak baik. Peneliti bisa mengembangkan sampai menjadi 10 bahkan 100 kategori. Pembuatan kategori ini penting terutama apabila peneliti akan membuat suatu kualifikasi, mengenai subyek penelitian. Misalnya subyek penelitian akan dibagi menjadi 4 bagian yang setiap bagiannya memiliki jumlah individu yang sama, dimana dasar pembagiannya adalah nilai yang dapat menjadi batas dari kelompok yang terdapat dalam distribusi (Winarsunu, 2005).

            Tatacara yang digunakan untuk membuat norma dengan kategori disebut median (Me) dengan 4 kategori disebut Kuartil (K) dengan 10 kategori disebut desil (D) dan dengan 100 kategori disebut persentil (P). Apabila menghendaki pembagian jumlah kategori diluar macam-macam jumlah kategori tersebut, misalnya menginginkan pembagian kategori menjadi 3, 5, 9, 20 atau yang lainnya, maka dapat menggunakan rumus persentil. Cara perhitungan median tidak akan dibahas lagi dalam pembagian ini karena sudah dikaji panjang lebar pada bagian sebelumnya.

• Kuartil

            Kita telah mengetahui bahwa median adalah nilai tengah data. Dengan kata lain, median membagi kelompok data menjadi dua bagian sama banyak, yaitu 50 % data berada di bawah median dan 50 % data berada di atas median. Konsep median dapat diperluas, yaitu kelompok data yang telah diurutkan (membesar atau mengecil) dibagi menjadi empat bagian yang sama banyak. Bilangan pembagian ada tiga, masing-masing disebut kuartil. Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik kuartil diberi nama kuartil satu (K₁), Kuartil dua (K₂) dan kuartil tiga (K₃). Kuartil pertama disebut juga kuartil bawah, kuartil kedua disebut juga kuartil tengah, dan kuartil ketiga disebut juga kuartil atas.

1. Kuartil Satu (K₁)

      Kuartil satu (K₁) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 25% frekuensi di bagian bawah dan 75% frekuensi di bagian atas distribusi. Untuk menentukan kuartil 1 diperlukan informasi posisi kuartilnya yaitu = ¼ N. Misalnya ¼ .40 = 10, ini berarti letak kuartilnya berada di kelas ketiga (yaitu dengan cara menjumlahkan frekuensi dari kelas pertama sampai melampaui atau sama dengan 10 pada kelas yang terdekat). Rumus untuk menghitung K₁ adalah sebagai berikut:

Dimana,              x jumlah individu (N)

 Kuartil Satu

 Batas Bawah nyata pada interval yang mengandung kuartil

 frek. kumulatif di bawah fk yang mengandung kuartil.

 frekuensi pada interval yang mengandung Kuartil

i       = lebar interval

Tabel 4.12. Berikut adalah Contoh untuk Mencari Kuartil Satu.

Diketahui,

 = 5,75 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)    

 7,5

 3

 6

i       = 5

Maka, harga K₁ adalah

1. Kuartil Dua (K₂)

            Kuartil dua (K₂) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 50% frekuensi dibawah distribusi dan 50% di atas distribusi. Oleh karena (K₂) membagi distribusi menjadi dua bagian secara sama, maka sebenarnya (K₂) tidak lain adalah median (Ridwan, 2005).

Tabel 4.13. Merupakan Contoh untuk Mencari Kuartil Dua

Diketahui,

 =11,5 (terletak pada fk = 12 interval 13 – 17)

 12,5          9         3       i       = 5

Maka, harga K₂ adalah

1. Kuartil Tiga (K₃)

            Kuartil tiga (K₃) adalah suatu nilai dalam distribusi yang membatasi 75% frekuensi di bagian bawah dan 25% frekuensi di bagian atas. Rumus untuk menghitung (K₃) adalah sebagai berikut:

Tabel 4.14. Contoh untuk Mencari Kuartil Tiga Berdasarkan Data yang Ada

Diketahui,

  = 17,25 (terletak pada fk = 18 interval 23 – 17)        

 22,5            16

 2                i       =  5

Maka, harga K₃ adalah

Apabila semua nilai kuartil, yaitu K₁, K₂, dan K₃ kita menampakkan secara berurutan, maka akan bisa dibaca sebagai suatu norma pengukuran sebagai berikut: Nilai K₁ = 9,70 menjadi batas antara kategori tidak baik sekali dengan sedang, nilai K₂ = 16,67 membatasi kategori sedang dengan baik dan nilai K₃ menjadi batas kategori baik dengan baik sekali. Dengan kata lain alternatif menghitung kuartil adalah:

Untuk data tidak berkelompok:  Q_i = Nilai yang ke – ,  i = 1,2,3……

Untuk data berkelompok        :   Q_i = L₀ + c ,  i = 1,2,3….

Contoh: Tentukanlah kuartil Q₁, Q₂, dan Q₃ dari data upah bulanan 13 karyawan (dalam ribuan rupiah) berikut: 40, 30, 50, 65, 45, 55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100.

Jawab:

Urutan data : 30, 35, 40, 45, 50, 55, 60, 65, 75, 80, 85, 95, 100.

Q_i = nilai ke – , di mana n = 13

Maka nilai kuartil Q₁, Q₂, Q₃ adalah sebagai berikut:

Q₁ = nilai ke – = nilai ke – 14/2 = nilai ke-3 ½

     = antara nilai ke -3 dan nilai ke-4

     = nilai ke-3 + ½ (nilai ke-4 – nilai ke-3)

     = 40 + ½ (85 – 40) = 42,5

Q₂ = nilai ke – = nilai ke-7 = 60

Q₃ = nilai ke-  = nilai ke-10 ½

     = nilai ke-10 + ½ (nilai ke-11 – nilai ke-10)

     = 80 + ½ (85 – 80) = 82,5.

Tabel 4.15. Berikut adalah Contoh untuk Data Berkelompok yang Disusun dalam Tabel Distribusi Frekuensi.

Tentukan nilai kuartil Q₁, Q₂ dan Q₃ dari data tersebut!

Jawab:

Menentukan terlebih dahulu kelas interval Q₁, Q₂ dan Q₃

Q₁, membagi data menjadi 25 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_2, membagi data menjadi 50 % ke bawah dan 75 % ke atas.

Q_3, membagi data menjadi 75 % ke bawah dan 25 % ke atas.

Karena n = 40, maka Q₁ terletak pada kelas 130 – 138, Q₂ terletak pada kelas 139 – 147, dan Q₃ terletak pada kelas 148 – 156.

Q_i = L₀ + c

Untuk Q₁, maka L₀ = 129,5, F = 4 + 5 = 9, dan f = 8, sehingga diperoleh:

          Q₁ = 129,5 + 9  = 129,5 + 9 (0,125) = 130,625.

Untuk Q₂, maka L₀ = 138,5, F = 4 + 5 + 8 = 17, dan f = 12, sehingga diperoleh:

          Q₂ = 138,5 + 9  = 140,75.

Terlihat bahwa nilai Q₂ sama dengan median.

Untuk Q₃, maka L₀ = 147,5, F = 29, dan f = 5, sehingga diperoleh:

          Q₃ = 147,5 + 9  = 149,3

• Desil (D)

            Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Dasar perhitungan desil adalah menggunakan angka persepuluhan. D₁ = 1/10 N, D₂ = 2/10 N, D₅ = 5/10 N, D₉ = 9/10 N dan seterusnya. Rumus-rumus untuk menghitung desil:

Tabel 4.16. Contoh untuk Mencari Desil Tiga (D₃) Berdasarkan Data Sebelumnya

Misalkan kita akan menghitung Desil tiga, maka langkah-langkah yang akan kita lakukan adalah sebagai berikut.

Diketahui,

                                        = 6,69 (terletak pada fk = 9 interval 8 – 12)    

 7,5

  3

 6

i         =  5

Maka nilai D₃ dapat dihitung sebagai berikut:

Arti dari D₃ = 10,75 adalah bahwa nilai 10,75 itu membatasi 30% (3/10N) frekuensi di bawah distribusi dan 70% (7/10N) frekuensi di sebelah atas distribusi. Untuk penghitungan macam-macam desil yang lain menggunakan prosedur yang sama. Apabila nanti diteruskan sampai perhitungan D₅ maka akan dijumpai penggunaan angka dasar 5/10N yang harganya sama dengan ½ N (angka dasar pada median dan K₂), hal ini menunjukkan bahwa sebenarnya D₅ = Mdn = K₂.

• Persentil (P)

            Pengertian-pengertian pada median, kuartil dan desil dapat digunakan untuk memahami pengertian yang terdapat pada persentil. Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉.

            Angka dasar yang digunakan dalam persentil adalah perseratusan, misalnya untuk P₁ = 1/100.N, P₂₅ = 25/100.N (atau ¼ . N seperti angka dasar K₁, sehingga P₂₅ = K₁). Demikian juga untuk P₅₀ = 50/100.N (= ½.N, yang berarti bahwa P₅₀ = Mdn = K₂ = D₅). Kesamaan-kesamaan pada macam-macam pengukuran ini mudah dipahami karena angka dasar yang digunakan seringkali menghasilkan nilai yang sama meskipun penampakannya berbeda, hal ini akan kita temukan lagi misalnya: D₁ = P₁₀, D₂ = P₂₀, K₃ = P₇₅, dan sebagainya (Wibisono, 2005).

            Melalui persentil seorang peneliti dapat dengan leluasa membagi distribusi data yang dimilikinya kedalam jumlah-jumlah kategori yang dikehendakinya. Misalnya jika penelitian ingin membagi distribusi data tentang skor-skor stress kerja (yang masih berupa data interval) menjadi 5 kategori data ordinal (misalnya tinggi sekali, tinggi, sedang, rendah dan rendah sekali) maka peneliti harus menemukan 4 titik persentil dengan jalan melakukan pembagian, 100/5 = 20. Angka 20 ini nanti akan berfungsi sebagai kelipatan yang digunakan untuk menentukan dasar pembuatan kategori. Maka 5 kategori yang digunakan tersebut akan dibatasi oleh titik-titik P₂₀, P₄₀, P₆₀, dan P₈₀. Untuk pembagian ke dalam jumlah-jumlah kategori yang lain dapat dikembangkan oleh para pembaca sendiri. Misalnya kita akan menghitung persentil 60, maka rumusnya adalah:

Tabel 4.17. Contoh untuk Mencari Persentil 60

Diketahui,

                                     =  13,8 (terletak pada fk = 16 interval 18 – 22)  

 17,5

 12

 4

i         = 5

Maka data tersebut didapatkan harga P₆₀ sebesar:

            Dari hasil tersebut dapat diketahui bahwa P₆₀ = 19,75, artinya bahwa yang membatasi antara 60% distribusi bagian bahwa dengan 40% distribusi bagian atas adalah nilai 19,75. Dalam penelitian persentil berguna untuk:

• Membagi distribusi menjadi beberapa kelas yang sama besar frekuensinya.
• Memisahkan sebagaian distribusi dari sisanya.
• Menyusun norma penelitian, dan menormalisasikan distribusi.

Rangkuman

            Ukuran kecenderungan memusat merupakan suatu bilangan yang menunjukkan tendensi (kecenderungan) memusatnya bilangan-bilangan dalam suatu distribusi. Ukuran kecenderungan memusat juga dapat digunakan untuk merangkum data dan mendeskripsikan suatu kelompok variabel dengan cara mencari suatu angka (indeks) yang dapat mewakili seluruh kelompok tersebut. Mean  atau disebut juga dengan rata-rata adalah angka yang diperoleh dengan membagi jumlah nilai-nilai (X) dengan jumlah individu (N). median adalah nilai pengamatan yang terletak di tengah-tengah data hasil observasi yang telah diurutkan dari kecil ke besar atau sebaliknya. Untuk data kuantitatif, modus adalah nilai data yang paling banyak muncul atau nilai data yang mempunyai frekuensi paling besar. Suatu kelompok data mungkin mempunyai modus, tetapi mungkin juga tidak mempunyai modus.

            Kuartil adalah suatu indeks yang dapat membagi suatu distribusi data menjadi 4 bagian atau kategori. Untuk membagi 4 bagian tersebut dibutuhkan 3 titik kuartil (K), dimana masing-masing titik kuartil diberi nama kuartil satu (K₁), Kuartil dua (K₂) dan kuartil tiga (K₃). Desil (D) adalah suatu indeks yang membagi suatu distribusi data menjadi 10 bagian atau kategori. Jika suatu distribusi dibagi menjadi 10 kategori maka diperlukan 9 titik batas desil, yaitu D₁, D₂, D₃, D₄, D₅, D₆, D₇, D₈, dan D₉. Pengertian-pengertian pada median, kuartil dan desil dapat digunakan untuk memahami pengertian yang terdapat pada persentil. Bedanya, jika median distribusinya dibagi menjadi 2 kategori, kuartil dibagi menjadi 4 kategori, desil dibagi menjadi 10 kategori, maka persentil distribusinya dibagi menjadi 100 kategori. Sehingga dalam perhitungannya nanti akan dijumpai sebanyak 99 titik persentil. Dari P₁, P₂ sampai dengan P₉₉.

Evaluasi Mandiri

1. Berikan penjelasan secara singkat apa yang dimaksud dengan:
2. Rata-rata hitung, median, dan modus.
3. Kuartil, desil dan persentil
4. Uraikan kelebihan dan kekurangan dari rata-rata hitung, median dan modus! Mengapa rata-rata hitung paling banyak digunakan dalam praktek analisis data dalam penelitian!
5. Nilai mahasiswa untuk mata kuliah Fisika ditentukan oleh komponen hasil tes paada praktikum di laboratorium, kuliah, dan keaktifan mahasiswa di kelas. Jika seorang mahasiswa memperoleh nilai praktikum sama dengan 75, kuliah sama dengan 65, dan keaktifan di kelas saam dengan 75; sedangkan bobot untuk ketiganya masing-masing adalah 2,4, dan 5. Tentukanlah nilai akhir mahasiswa tersebut dengan menggunakan rata-rata hitung!
6. Nilai ujian program linier dari 10 mahasiswa, masing-masing sebagai berikut: 40,70,60,75,65,80,90,45,50,95. Berapa besarnya median dari nilai ujian program linier tersebut!
7. Misalnya X adalah upah bulanan karyawan sebuah perusahaan yang dibulatkan menjadi ribuan rupiah. Ada 40 orang karyawan yang sedang diselidiki dan besarnya upah bulanan dalam ribuan rupiah adalah:

146     147      147      148      149      150      150      152      153      154

156     157      158      161      163      164      165      168      173      176

119     125      126      128      132      135      135      135      136      138

138     140      140      142      142      144      144      145      145      146

1. Berapa besarnya nilai median upah karyawan tersebut!
2. Kalau data dikelompokkan, kelas-kelas disajikan dalam distribusi frekuensi, hitunglah mediannya!
3. Dengan menggunakan data yang telah dikelompokkan, hitunglah nilai median dan modus dari data berikut:

7. Berikut ini adalah data nilai ujian pengantar teknologi informasi mahasiswa STMIK Raharja, yaitu : 40, 30, 50, 65, 45,55, 70, 60, 80, 35, 85, 95, 100, (n=13). Hitunglah nilai Q₁, Q₂, Q₃, D₁, D₂, D₃!
8. Nilai rata-rata ulangan matematika dari 10 mahasiswa terpandai di kelas B adalah 80. Setelah ditambah nilai dari 2 mahasiswa terpandai dari kelas A maka nilai rata-ratanya menjadi 83. Tentukan nilai rata-rata 2 mahasiswa dari kelas tersebut!

9. Berdasarkan data berikut, hitunglah Q₁, Q₃, D_3, D₆, dan P₅₀!

10. Nilai ujian kalkulus dari 120 mahasiswa Tangerang, adalah:

1. Hitung kuartil pertama dan ketiga!
2. Hitung desil pertama, kelima, dan ketujuh!
3. Hitung persentil pertama, kedua puluh lima, kelima puluh, dan ketujuh puluh lima!

Orang yang kuat dan berhasil tidak menjadi korban dari lingkungannya. Ia menciptakan kondisi yang menyenangkan. Kekuatan dan energinya yang tidak dapat dipisahkan memaksa sesuatu untuk berubah menjadi seperti yang dia inginkan.

Orison Swett Marden